Gleichung ohne Idee < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Di 08.01.2019 | | Autor: | avi |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{x-\wurzel{a}}{\wurzel{b}+\wurzel{c}}+\bruch{x-\wurzel{b}}{\wurzel{a}+\wurzel{c}}+\bruch{x-\wurzel{c}}{\wurzel{a}+\wurzel{b}}=3 [/mm] |
Gesucht ist x. Die Lösung ist zu sehen. Aber wie kriege ich nach x aufgelöst? Hauptnenner bilden und ausmultiplizieren kann hier wohl nicht gemeint sein, oder? Also: Wo ist die Idee?
Vielen Dank für Eure Mühe.
Avi
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Hiho,
Außerdem:
> Die Lösung ist zu sehen.
Wenn du das kannst, dann schreib sie hin und zeige, dass es eine Lösung ist, damit ist es auch die einzige.
> Aber wie kriege ich nach x aufgelöst? Hauptnenner bilden und
> ausmultiplizieren kann hier wohl nicht gemeint sein, oder?
Wieso nicht?
Wäre ja zielführend und nur ein bisschen Schreibarbeit....
Was diese ein bisschen erleichtern könnte: es ist $3 = [mm] \bruch{\wurzel{b}+\wurzel{c}}{\wurzel{b}+\wurzel{c}}+\bruch{\wurzel{a}+\wurzel{c}}{\wurzel{a}+\wurzel{c}}+\bruch{\wurzel{a}+\wurzel{b}}{\wurzel{a}+\wurzel{b}} [/mm] $
Was einen wieder sehr schnell auf die "zu sehende" Lösung bringt.
Aber auch mit umformen ist man da sehr schnell am Ziel, denn man erkennt dann sofort:
$ [mm] \bruch{x-\wurzel{a}}{\wurzel{b}+\wurzel{c}}+\bruch{x-\wurzel{b}}{\wurzel{a}+\wurzel{c}}+\bruch{x-\wurzel{c}}{\wurzel{a}+\wurzel{b}}=3 [/mm] $
[mm] $\gdw \left(x - \wurzel{a} - \wurzel{b} - \wurzel{c}\right)\left(\bruch{1}{\wurzel{b}+\wurzel{c}} + \bruch{1}{\wurzel{a}+\wurzel{c}} + \bruch{1}{\wurzel{a}+\wurzel{b}}\right) [/mm] = 0$
Und nun ist ein Produkt null, genau dann, wenn ein Faktor Null ist,…
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Di 08.01.2019 | | Autor: | fred97 |
Die Wurzeln sind doch nur Schnick-schnack ! Da war wieder mal ein ganz pfiffiger Aufgabensteller am Werk !
Seine $a,b, c >0$. wir betrachten die Gleichung
$ [mm] \bruch{x-a}{b+c}+\bruch{x-b}{a+c}+\bruch{x-c}{a+b}=3 [/mm] $.
Diese is gleichbedeutend mit
$ [mm] \bruch{x-a}{b+c}+\bruch{x-b}{a+c}+\bruch{x-c}{a+b}= \bruch{b+c}{b+c}+\bruch{a+c}{a+c}+\bruch{a+b}{a+b}$.
[/mm]
Setzt man $s=a+b+c$ und bringt man die rechte Seite der letzten Gleichung nach links, so ergibt sich
$(x-s)[ [mm] \bruch{1}{b+c}+\bruch{1}{a+c}+\bruch{1}{a+b}]=0$.
[/mm]
Fazit: $x=s=a+b+c$ (was man natürlich von Anfang an sehen kann.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Di 08.01.2019 | | Autor: | avi |
Vielen Dank. Ich seh' sowas eben nicht auf Anhieb, deswegen stelle ich hier ja Fragen...
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