Gleichungssystem in F7 lösen.. < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (i) Lösen Sie die folgenden Gleichungen in [mm] \IF_{7}:
[/mm]
(a) 5x=4
(b) x²-x+1=0
(ii) Geben Sie eine quadratische Gleichung in [mm] \IF_{7} [/mm] an, die keine Kösung in [mm] \IF_{7} [/mm] besitzt. |
Hallo!
Ich habe Probleme beim lösen dieser Aufgabe...
Die (i) (a) hab ich schon mittels der Multiplikationstabelle gelöst.
Allerdings weiß ich nicht, wie ich die (i) (b) lösen soll...habe die quadratische Gleichung einfach mal mit der Lösungsformel gelöst und bin auf [mm] \bruch{1}{2} [/mm] gekommen die Wurzel war negativ). Ist das schon die Lösung oder muss ich da noch was machen?
Und wie mache ich denn die (ii)?
Hoffe, dass mir jemand helfen kann...
Danke schonmal!
LG, Raingirl87
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Di 11.07.2006 | | Autor: | statler |
Hallo RainGirl!
[mm] x^{2} [/mm] - x + 1 kannst du nach der p-q-Formel lösen, wenn du weißt, was das Inverse von 2 ist. Das ist hier 4, weil 2*4 = 8 = 1 ist.
Schon bist du durch, denn jetzt ist [mm] x_{1/2} [/mm] = 4 [mm] \pm \wurzel{16 - 1}, [/mm] also [mm] x_{1} [/mm] = 5 und [mm] x_{2} [/mm] = 3.
Mach mal die Probe!
In [mm] F_{7} [/mm] sind 1, 2 und 4 die Quadrate, also ist [mm] x^{2} [/mm] = 3 eine unlösbare quadratische Gleichung.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Leider verstehe ich das nicht...könntest du mir das bitte noch genauer erklären?
Wieso brauche ich denn das Inverse von 2? Und wie komm ich drauf, dass das Inverse von 2=4 ist?
LG, Raingirl87
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Di 11.07.2006 | | Autor: | statler |
> Leider verstehe ich das nicht...könntest du mir das bitte
> noch genauer erklären?
> Wieso brauche ich denn das Inverse von 2? Und wie komm ich
> drauf, dass das Inverse von 2=4 ist?
Hello again!
In der p-q-Formel geht es doch mit -(p/2) los, also [mm] (-p)*2^{-1}, [/mm] deswegen brauchst du den Kehrwert von 2 in diesem Körper. Daß er 4 ist, habe ich dir vorgerechnet: 2*4 = 1.
Und unter der Wurzel geht es mit dem Quadrat dieses Wertes weiter, und [mm] 4^{2} [/mm] = 16 = 2 in diesem Körper. 2 - 1 ist 1, und [mm] \wurzel{1} [/mm] = 1.
Das isses!
LG
Dieter
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Hallo nochmal!
Habe das jetzt verstanden...die einzige Frage, die mir noch bleibt ist, wieso die Formel [mm] x_{1/2} [/mm] = 4 [mm] \pm \wurzel{16 - 1} [/mm] heißt.? Weil eigentlich ist doch p=1 und da würde doch stehen [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] +- [mm] \wurzel{\bruch{1}{16}-1} [/mm] oder nicht?
LG, Raingirl87
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Di 11.07.2006 | | Autor: | statler |
Nee, p ist -1 und -(p/2) ist 4.
Übrigens ist auch -1 = 6 und -(p/2) = -3. Diese endl. Körper sind schon tolle Dinger.
Dieter
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Hey! :)
Raingirl, scheinbar sitzen wir in der gleichen Vorlesung.
Ich gehe gerade die ganzen Übungsserien mal für die Klausur durch aber blicke durch diese Aufgabe auch nicht durch und komme leider auch nicht diesen Erklärungen hier zurecht. *heul*
Wieso muss man die normalen Zahlen denn überhaupt zu anderen Zahlen umformen und nach welchem Prinzip formt man sie um? Und muss man jede eigentliche Zahl umformen oder nur manche? Ich verstehe einfach nicht, was da für ein Sinn dahinter steckt....
Kann mir das evtl. jemand erklären?
Vielen Dank im Voraus!
MfG, Jennymaus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:54 Mi 12.07.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Jenny, und Gruß an das RainGirl
> Raingirl, scheinbar sitzen wir in der gleichen Vorlesung.
> Ich gehe gerade die ganzen Übungsserien mal für die
> Klausur durch aber blicke durch diese Aufgabe auch nicht
> durch und komme leider auch nicht diesen Erklärungen hier
> zurecht. *heul*
Zu *heul* besteht kein Anlaß, hier wirst du doch geholfen.
> Wieso muss man die normalen Zahlen denn überhaupt zu
> anderen Zahlen umformen und nach welchem Prinzip formt man
> sie um? Und muss man jede eigentliche Zahl umformen oder
> nur manche? Ich verstehe einfach nicht, was da für ein Sinn
> dahinter steckt....
Weißt du denn, was [mm] F_{7} [/mm] ist? Das ist ein endlicher Körper mit 7 Elementen insgesamt, seine multiplikative Gruppe hat dann 6 Elemente und man kann sie hinschreiben als [mm] \overline{1}, [/mm] ... , [mm] \overline{6}. [/mm] Das sind die von [mm] \overline{0} [/mm] verschiedenen Restklassen modulo 7. Mit ihnen kann man ganz super rechnen: [mm] \overline{3} [/mm] * [mm] \overline{6} [/mm] = [mm] \overline{18} [/mm] = [mm] \overline{4} [/mm] usw.
Entsprechend kann man eine quadratische Gleichung auch ganz klassisch mit quadratischer Ergänzung anpacken. Von einer Mathe-Studentin würde ich erwarten, daß sie das aus der Schule kann. Mach das ruhig mal zu Übungszwecken. Rechnen, argumentieren und formulieren sind in der Mathematik ganz wichtig.
Hier rechnest du nicht mit Zahlen, sondern mit Restklassen, die aber durch Zahlen repräsentiert werden und deswegen so aussehen, als wären es Zahlen, insbesondere, wenn man auch noch den Querstrich wegläßt. Aber streng genommen sind es Mengen von Zahlen!
Dieser Kram hat in wesentlich komplexerer Form eine große Bedeutung in der Verschlüsselung von Daten, also in der Computertechnik.
Wenn du weitere spezielle Fragen hast, dann stell sie hier (gilt natürlich für beide).
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:57 Mi 12.07.2006 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
F7 etc. sind sog. Restklassenkörper. Man rechnet in Ihnen relativ einfach. Wenn du z.B. in R "1 + 7" rechnest, dann kommt da normalerweise 8 raus. Nun bist du aber in F7, d.h. du musst immer noch -7 nehmen, deswegen kommt bei '1+7' = 1 raus (8 - 7). [Das ist so, weil F7 nur die Elemente 0 bis 6 enthält.]
Ein paar weitere Bsp.:
1+3 = 4 (also wie gehabt)
5+6 = 4 (denn 5+6 = 11, das wieder -7)
5- 6 = 6 (denn 5-6 = -1, hier jetzt +7)
bei der Multiplikation ist es im Prinzip genauso:
2*4 = 1 (denn 2*4 = 8, -7)
3*4 = 5 (denn 3*4 = 12, -7)
1*7 = 0 (denn 1*7 = 7, -7; d.h. alle Vielfachen von 7, also 2*7, 3*7 usw. sind gleich null) usw.
An sich kannst du also normal rechnen (wie in R), du musst nur auf den letzten Schritt mit der 7 achten.
Steffen
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