Gleichungssysteme lösen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | x1 +2x2 +2x3 = -1
2x1 +4x2 +3x3 -x4 = 1
-x1 -2x2 +x3 +2x4 = -8
-3x1 -6x2 +2x3 +3x4 = -21 |
Hallo an alle Mathematiker, die es verstehen die Nacht zum Tag zu machen ;)
Hier meine erste Frage diese Nacht: Ich soll die Löungsmenge angeben.
Durch umstellen habe ich dann folgendes LGS
1 2 2 0 -1
0 0 -1 -1 3
0 0 0 0 -1
0 0 8 3 -24
Ganz rechts ist jetzt die B Spalte.
Ich weiß, dass es eine 1 Parametrike Lösung sein muss und an den LGS sieht man , dass x4 = 0 und x3 = -3 sein Muss.
Wie komme ich auf x1 und x2 ? Und wie gebe ich konkret die Lösungsmenge an?
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| Aufgabe | Gegeben sind die erweiterten Koeffizientenmatrizen zweier linearer Gleichungssysteme
mit Koeffizienten aus R. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge.
1 -3 0 -5
1 2 -1 4
1 2 1 -1
1 -3 -2 0
1 2 3 4 5 6 1
2 3 4 5 6 7 1
3 4 5 6 7 8 0
4 5 6 7 8 9 0
Achtung Spalte ganz Rechts ist die B Spalte von der Matrix |
Meine Lösung fürs erste ist
x1: 14,5
x2: 6,5
und x3: -2,5
Stimmt das soweit?
Kann ich die zweite Matrix überhaupt berechnen? Ich finde sie hat ein krasses Format (4x6) ... =(
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Eigentlich ist es ja das zweite System, da das erste in Deinem ersten Post steht, aber wie auch immer...
Deine Lösung für [mm] x_3 [/mm] ist korrekt, die Lösungen für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] nicht. Wie kommst Du darauf?
"Dein zweites" System (eigentlich das dritte) ist wiederum (zweifach) unbestimmt. Du kannst es natürlich rechnen, wirst aber zwei Unbekannte übrig behalten oder diese festlegen müssen.
Gruß - Marx.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 04:24 Do 12.01.2012 | | Autor: | Godboy525 |
Danke schonmal. Das mit den Parametern habe ich dann auch überlegt. Warum ist x4 dann falsch? Ich habe doch in der letzen Zeile des LGS (1 Aufgabe)
0 0 8 3 = -24
Wenn ich jetzt weiß, das x4 =0 ist müsste da stehen: [mm] 8x_{3} [/mm] = -24 => [mm] x_{3} [/mm] = -3 ...
Und wenn, wie setze ich hierbei denn jetzt z.B. den Parameter?
Lg
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> Gegeben sind die erweiterten Koeffizientenmatrizen zweier
> linearer Gleichungssysteme
> mit Koeffizienten aus R. Bestimmen Sie jeweils die
> Lösungsmenge.
>
>
> 1 -3 0 -5
> 1 2 -1 4
> 1 2 1 -1
> 1 -3 -2 0
>
>
> 1 2 3 4 5 6 1
> 2 3 4 5 6 7 1
> 3 4 5 6 7 8 0
> 4 5 6 7 8 9 0
>
> Achtung Spalte ganz Rechts ist die B Spalte von der Matrix
> Meine Lösung fürs erste ist
> x1: 14,5
> x2: 6,5
> und x3: -2,5
>
> Stimmt das soweit?
Hallo,
s. dazu die Antwort von KarlMarx.
>
>
> Kann ich die zweite Matrix überhaupt berechnen? Ich finde
> sie hat ein krasses Format (4x6) ... =(
Wenn Du Dich daran machst, solche Koeffizientenmatrizen grundsätzlich auf Zeilenstufenform zu bringen, wird Dich auch das krasseste Format nicht mehr schocken, und Du wirst die Angelegenheit völlig systematisch angehen können.
Eigne Dir an, wie man zur ZSF kommt, bring die Matrix auf diese Form, und dann kann man Dir bei der Interpretation weiterhelfen.
Man MUSS das können!
LG Angela
>
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Ich habe die Matrix umgestellt. Ich habe die erste Zeile * (-1) genommen und dann zur 2,3,4ten Addiert. So erhielt ich folgendes LGS
1 -3 0 -5
0 5 -1 9
0 5 1 4
0 0 -2 5
So kam ich auf x3 = -2,5
Das habe ich dann in die 3te Gleichung eingesetzt und x2 bestimmt. Die beiden habe ich dann in die erste Gleichung eingesetzt und x1 bestimmt.
Lg Samuel
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> Ich habe die Matrix umgestellt. Ich habe die erste Zeile *
> (-1) genommen und dann zur 2,3,4ten Addiert. So erhielt ich
> folgendes LGS
>
> 1 -3 0 -5
> 0 5 -1 9
> 0 5 1 4
> 0 0 -2 5
>
> So kam ich auf x3 = -2,5
> Das habe ich dann in die 3te Gleichung eingesetzt und x2
> bestimmt. Die beiden habe ich dann in die erste Gleichung
> eingesetzt und x1 bestimmt.
Hallo,
das ist ja auch richtig, und [mm] x_3=-2.5 [/mm] stimmt.
Nun, wo's "interessant" wird, hörst Du auf...
Jetzt mußt Du halt auch richtig weiterrechnen, nicht nur mit dem richtigen Prinzip, sondern mit den richtigen Zahlen.
Dir ist klar, daß das da oben keine ZSF ist?
Ich reite da so drauf rum, weil von Dir erwartet wird, daß Du das kannst. Für dieses winzige LGS ist es egal, aber es größer wird und freie Parameter hat...
Nochmal:eigne Dir das an!
LG Angela
>
> Lg Samuel
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Was meinst du mit Zfs?
Es ist mir klar, dass ich mir das aneignen muss, deswegen bin ich grade hier ;)
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> Was meinst du mit Zfs?
Ich meine damit ZSF, Zeilenstufenform.
Vielleicht heißt sie bei Euch auch Treppennormalform oder so.
LG Angela
>
> Es ist mir klar, dass ich mir das aneignen muss, deswegen
> bin ich grade hier ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:53 Do 12.01.2012 | | Autor: | Godboy525 |
Ah okay ;)
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Moin Godboy!
Du kannst das erste System nicht komplett lösen, da es unbestimmt ist. Du hast nur zwei voneinander unabhängige Gleichungen und vier Unbekannte. Die zwei überzähligen Unbekannten bleiben entweder allgemein, oder man legt eine davon willkürlich fest und berechnet damit die andere. Welche Variante zu wählen ist, hängt von der Aufgabenstellung bzw. vom Anwendungsfall ab.
So nebenbei: Hier Wird TeX-Code unterstützt und damit kann man Indizes auch schön tiefstellen - das steigert die Lesbarkeit enorm:
Statt 2x2 wäre schöner [mm] 2x_2.
[/mm]
Lösungsmengen gibt man z.B. so an [mm] \textbf{L} [/mm] := [mm] \left\{x_1; x_2; x_3; x_4\right\}.
[/mm]
Gruß - Marx.
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> x1 +2x2 +2x3 = -1
> 2x1 +4x2 +3x3 -x4 = 1
> -x1 -2x2 +x3 +2x4 = -8
> -3x1 -6x2 +2x3 +3x4 = -21
> Hallo an alle Mathematiker, die es verstehen die Nacht zum
> Tag zu machen ;)
>
> Hier meine erste Frage diese Nacht: Ich soll die
> Löungsmenge angeben.
>
> Durch umstellen habe ich dann folgendes LGS
>
> 1 2 2 0 -1
> 0 0 -1 -1 3
> 0 0 0 0 -1
> 0 0 8 3 -24
Hallo,
die 3.Zeile stimmt nicht.
Und Du solltest das System auch auf Zeilenstufenform bringen, dann liest sich alles bequemer ab.
>
> Ganz rechts ist jetzt die B Spalte.
> Ich weiß, dass es eine 1 Parametrike Lösung sein muss und
> an den LGS sieht man , dass x4 = 0 und x3 = -3 sein Muss.
An dem, was Du jetzt dort stehen hast, liest man aufgrund der 3.Zeile ab, daß es überhaupt keine Lösung hat!
Ich könnte mir aber vorstellen, daß es lediglich ein Übertragungsfehler ist und Du eigentlich
1 2 2 0 -1
0 0 -1 -1 3
0 0 0 1 0
0 0 8 3 -24
meintest.
Diesem System entnimmt man in der Tat [mm] x_4=0,
[/mm]
woraus sich [mm] x_3=-3
[/mm]
und [mm] x_1=-1-2x_2-2x_3=5-2x_2 [/mm] ergibt.
Alle x der Lösungsmenge haben also die Gestalt
[mm] x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{5-2x_2\\x_2\\-3\\0}=\vektor{5\\0\\-3\\0}+x_2*\vektor{-2\\1\\0\\0}.
[/mm]
Die Lösungsmenge kann man schreiben als
[mm] L=\vektor{5\\0\\-3\\0}+<\vektor{-2\\1\\0\\0}>,
[/mm]
die spitzen Klammern stehen für lineare Hülle/Span/Erzeugnis.
Du solltest aber wie oben erwähnt LGSe unbedingt systematisch lösen, also immer bis zur ZSF arbeiten oder sogar bis zur reduzierten ZSF, denn man kann z.B. daran sofort die Dimension des Lösungsraumes ablesen, an der red. ZSF auch sofort die Lösungsmenge.
LG Angela
>
> Wie komme ich auf x1 und x2 ? Und wie gebe ich konkret die
> Lösungsmenge an?
>
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wieso schreibst du am Ende -2100?
Lieben Gruß und Gsd
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> wieso schreibst du am Ende -2100?
Hallo,
na, etwas Fantasie/eigenes Denken würde ich schon erwarten...
Das war natürlich ein Fehler! Ist korrigiert.
LG Angela
>
> Lieben Gruß und Gsd
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:23 Do 12.01.2012 | | Autor: | Godboy525 |
Ich denke schon darüber nach, bin momentan nur Geistig nicht so fit, da es etwas Spät ist ;)
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> Ich denke schon darüber nach, bin momentan nur Geistig
> nicht so fit, da es etwas Spät ist ;)
Spät??? Es ist früh!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:33 Do 12.01.2012 | | Autor: | Godboy525 |
Kommt auf die Sichtweise an. Wenn man ne Nacht mit Mathe durchmacht ist es spät ;)
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von Ax = 0
A =
1 -2 1 1 -1
2 1 -1 -1 5
1 7 -5 -5 5
hierbei ist keine b Spalte gegeben.
4. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von t 2 R die Lösungsmenge des linearen
Gleichungssystems, welches durch die folgende erweiterte Koeffizientenmatrix
gegeben ist.
1 t -2 - 2
2 -1 (t-1) 1
-1 (t+1) 3 -3
Die Spalte ganz rechts ist die b Spalte |
So das sind die letzen beide für diese Nacht.
Bei der zweiten Matrix (mit den t parameter) weiß ich gar nicht mehr was ich machen soll...
Lg
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> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von Ax = 0
> A =
>
> 1 -2 1 1 -1
> 2 1 -1 -1 5
> 1 7 -5 -5 5
>
> hierbei ist keine b Spalte gegeben.
>
>
> 4. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von t 2 R die
> Lösungsmenge des linearen
> Gleichungssystems, welches durch die folgende erweiterte
> Koeffizientenmatrix
> gegeben ist.
>
> 1 t -2 - 2
> 2 -1 (t-1) 1
> -1 (t+1) 3 -3
>
> Die Spalte ganz rechts ist die b Spalte
>
> So das sind die letzen beide für diese Nacht.
Nacht? Die ist lange vorbei...
>
> Bei der zweiten Matrix (mit den t parameter) weiß ich gar
> nicht mehr was ich machen soll...
In der ersten ist die Lösungsmenge von [mm] A*\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=0 [/mm] zu bestimmen, die Lösungsmenge eines homogenen LGS also, bestehend aus 3 Gleichungen mit 5 Variablen.
Du kannst Dir eine b-Spalte aus Nullen dazudenken oder -schreiben.
(Am besten setzt man diese Spalte durch einen Strich oder Abstand von den anderen ab.)
Oder anders ausgedrückt: der Kern der Matrix A.
Bei der zweiten sind die Lösungen in Abhängigkeit von t zu bestimmen.
Das t ist ein Parameter, behandle ihn, als stünde dort eine ganz normale Zahl.
Falls Du dividierst, können Fallunterscheidungen nötig werdne, denn man darf ja nicht durch 0 dividieren.
Am besten bringst Du die Matrizen erstmal auf ZSF...
LG Angela
>
> Lg
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So ich glaub ich hab eine gute Form gefunden.
Ich habe jetzt die Matrix:
1 1 1 -1 2 = 0
0 0 0 5 11 = 0
0 0 0 0 21 = 0
Sagt mir das, das x2 (steht bei mir ganz hinten, da ich einen Spaltentausch gemacht habe) = 0 sein muss? Letzte Zeile?
Und wenn ich das weiß, dann weiß ich doch eigentlich auch, dass x4 auch gleich Null sein muss oder?
Für die anderen x Werte müsste ich dann wieder ein Parameter angeben...
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> So ich glaub ich hab eine gute Form gefunden.
>
>
> Ich habe jetzt die Matrix:
> [mm] \red{1} [/mm] 1 1 -1 2 = 0
> 0 0 0 [mm] \red{5} [/mm] 11 = 0
> 0 0 0 0 [mm] \red{21} [/mm] = 0
>
> Sagt mir das, das x2 (steht bei mir ganz hinten, da ich
> einen Spaltentausch gemacht habe)
Hallo,
Warnung: mach nie, wenn Du LGSe löst, einen Sapltentausch!
Wenn Du größere Systeme hast und das mehrmals machst, ist das Durcheinander vorprogrammiert.
Zeile kannst Du nach Herzenslust tauschen.
Es ist auch ein Spaltentausch nicht falsch, aber man muß akribisch notieren, welche Variable in welcher Spalte steht.
Ich kann nicht auf einen Blick sehen, was Du alles getauscht hast, wahrscheinlich aber [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_5, [/mm] richtig?
Nachgerechnet habe ich nichts.
Ich bezeichne die neuen Variablen mit einem Stich, so: [mm] x_i'.
[/mm]
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1,4,und 5.
Also kannst Du die 2. und 3.Variable frei wählen.
Mit
[mm] x_2'=s
[/mm]
[mm] x_3'=t
[/mm]
erhältst Du aus der letzten Zeile
[mm] x_5'=0,
[/mm]
aus der vorletzten Zeile
[mm] x_4'=0 [/mm] und damit aus der ersten
[mm] x_1'=-x_2'-x_3'=-s-t
[/mm]
Zurückbenennung der Variablen (falls so getauscht wurde, wie ich denke) ergibt
[mm] x_5=s
[/mm]
[mm] x_3=t
[/mm]
[mm] x_2=0
[/mm]
[mm] x_4=0 [/mm]
[mm] x_1=-s-t.
[/mm]
> = 0 sein muss? Letzte
> Zeile?
> Und wenn ich das weiß, dann weiß ich doch eigentlich
> auch, dass x4 auch gleich Null sein muss oder?
>
> Für die anderen x Werte müsste ich dann wieder ein
> Parameter angeben...
Ja.
s.o.
LG Angela
>
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So nach einen Zeilentausch (2te und 3te) und etwas umformen habe ich es jetzt so auf dem Papier:
1 t -2 = -2
0 (2t+1) 1 = -5
0 (-2t-1) (t+2) = 3
Wenn ich es jetzt schaffe, den Ausdruck -2t-1 zu Null zu verändern habe ich eigentlich schon die ZSF.
Wie kann ich jetzt vorgehen?
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> So nach einen Zeilentausch (2te und 3te) und etwas umformen
> habe ich es jetzt so auf dem Papier:
>
> 1 t -2 = -2
> 0 (2t+1) 1 = -5
> 0 (-2t-1) (t+2) = 3
Hallo,
schreib das doch in eine vorgefertigte Matrix, schau Dir dazu die Eingabehilfen unterhalb des Eingabefensters an, bzw. falls Du die andere version verwendest, klicke auf das rote Summenzeichen. Dort findest Du auch Matrizen.
Nachgerechnet habe ich das nicht - wenn Du das möchtest, müßtest Du Ausgangsmatrix und rechenweg posten, damit man ohne Stift und ohne Klickerei das verfolgen kann.
> Wenn ich es jetzt schaffe, den Ausdruck -2t-1 zu Null zu
> verändern habe ich eigentlich schon die ZSF.
Addiere die zweite Zeile zur letzten.
LG Angela
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