Gleichungsyst. mit Komponente < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Mi 30.08.2006 | | Autor: | Dnake |
| Aufgabe | Für welchen Wert von [mm] \lambda [/mm] hat das folgende lineare GS nichttriviale Lösungen und wie lauten diese Lösungen.
x + 3y + z = 0
2x+ y - 3z=0
3x + 3y [mm] +\lambda [/mm] z =0
und wie lauten diese Lösungen. |
Hallo,
ich habe für [mm] \lambda \bruch{9}{5} [/mm] heraus.
Stimmt das?
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> Hallo,
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> ich habe für [mm]\lambda = \bruch{9}{5}[/mm] heraus.
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> Stimmt das?
>
Nein, ich kriege [mm]\lambda = -3[/mm]. Mit der Matrix-Schreibweise ist das besser erklärbar. Sicher kennst du das schon, oder?
Sei
[mm]
A = \pmat{ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 3 & 3 & \lambda}
[/mm]
Dann ist
[mm]
A* \vektor{x \\ y \\z} = \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
dein Gleichungssystem. Soll nun ein Vektor [mm]0 \not= u \in \IR^3[/mm] existieren so das A*u=0 so bedeutet das, dass Ker(A) nicht trivial ist. Aber das ist äquivalent zu det(A) = 0.
Gruss
EvenSteven
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Do 31.08.2006 | | Autor: | Dnake |
Hallo,
ja, hatte mich verrechnet, habe jetzt auch -3 heraus.
muss ich die -3 jetzt einfach in der letzten Zeile einsetzen und das GS dann normal auflösen?
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Huhu
> ja, hatte mich verrechnet, habe jetzt auch -3 heraus.
> muss ich die -3 jetzt einfach in der letzten Zeile
> einsetzen und das GS dann normal auflösen?
>
Jein. Wenn du mit dem Gausschen Algorithmus da durch gehst, kriegst du am Schluss eine Zeile mit lauter Nullen. Das bedeutet du kannst die z-Komponente (falls du die letzte Zeile mit 0en hast) frei wählen also
[mm]z=\mu \in \IR[/mm] beliebig. Die x- und y-Werte folgen dann - in Abhängigkeit des gewählten [mm] \mu [/mm] natürlich. D.h. du kriegst eine ganze Gerade voll Lösungen.
Bye
EvenSteven
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Do 31.08.2006 | | Autor: | Dnake |
Hallo,
ich hab dann z=u raus, y= -u und x=2u
korrekt?
Danke für die Hilfe!
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> Hallo,
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> ich hab dann z=u raus, y= -u und x=2u
>
> korrekt?
![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]") Das ist korrekt!
>
> Danke für die Hilfe!
>
Bitte, gern geschehen :)
Bye
EvenSteven
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