Globaler Diffeomorphismus < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:38 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
| Aufgabe | Ich habe folgende Koordinatentransformation berechnet:
[mm] \phi(x)= \vektor{x_{3} \\ x_{1} \\ x_{2}}
[/mm]
Nun soll ich überprüfen, ob es sich um einen globalen Diffeomorphismus handelt. |
Hallo
Zunächst muss ich ja überprüfen, ob die Jacobi-Matrix von [mm] \phi(x) [/mm] vollen Rang hat.
Das habe ich gemacht: [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] ==> voller Rang
Als nächstes gilt zu zeigen, dass [mm] \limes_{\parallel x \parallel\rightarrow\infty}\parallel \phi(x) \parallel=\infty
[/mm]
Aber daran scheitere ich jetzt, was ich genau machen muss? Muss ich da jetzt die Skalarproduktnorm bilden? Und wie lasse ich [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] gegen unendlich laufen?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:02 Mo 28.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe folgende Koordinatentransformation berechnet:
>
> [mm]\phi(x)= \vektor{x_{3} \\ x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
>
> Nun soll ich überprüfen, ob es sich um einen globalen
> Diffeomorphismus handelt.
> Hallo
>
> Zunächst muss ich ja überprüfen, ob die Jacobi-Matrix
> von [mm]\phi(x)[/mm] vollen Rang hat.
>
> Das habe ich gemacht: [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
> ==> voller Rang
>
> Als nächstes gilt zu zeigen, dass [mm]\limes_{\parallel x \parallel\rightarrow\infty}\parallel \phi(x) \parallel=\infty[/mm]
>
> Aber daran scheitere ich jetzt, was ich genau machen muss?
> Muss ich da jetzt die Skalarproduktnorm bilden?
Ja. Hast du [mm] $\|\phi(x)\|$ [/mm] mal ausgerechnet und mit [mm] $\|x\|$ [/mm] verglichen? Faellt dir was auf?
> Und wie lasse ich [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] gegen unendlich laufen?
Den Teil siehst du ziemlich schnell, wenn du [mm] $\|\phi(x)\|$ [/mm] und [mm] $\|x\|$ [/mm] mal genauer angeschaut hast.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:31 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
> Ja. Hast du [mm]\|\phi(x)\|[/mm] mal ausgerechnet und mit [mm]\|x\|[/mm]
> verglichen? Faellt dir was auf?
[mm] \|\phi(x)\|=\wurzel{x_{3}^2+x_{1}^2+x_{2}^2} [/mm] und
[mm] \|x\|=\wurzel{} [/mm] und in diesem Fall dann [mm] \|x\|=\wurzel{x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2}, [/mm] richtig? Somit wär [mm] \|\phi(x)\|=\|x\| [/mm] oder?
> > Und wie lasse ich [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] gegen unendlich
> laufen?
>
> Den Teil siehst du ziemlich schnell, wenn du [mm]\|\phi(x)\|[/mm]
> und [mm]\|x\|[/mm] mal genauer angeschaut hast.
Dann hätte ich [mm] \limes_{\wurzel{x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2}\rightarrow\infty}\wurzel{x_{3}^2+x_{1}^2+x_{2}^2}=\infty
[/mm]
Hier ist es mir klar, da [mm] \|\phi(x)\|=\|x\|. [/mm] Wie würde das ganze aber funktionieren, wenn [mm] \|\phi(x)\|\not=\|x\|? [/mm] Wie würde ich dann so ein komisches Konstrukt wie [mm] \wurzel{x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2} [/mm] gegen unendlich laufen lassen?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:55 Mo 28.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Ja. Hast du [mm]\|\phi(x)\|[/mm] mal ausgerechnet und mit [mm]\|x\|[/mm]
> > verglichen? Faellt dir was auf?
>
> [mm]\|\phi(x)\|=\wurzel{x_{3}^2+x_{1}^2+x_{2}^2}[/mm] und
>
> [mm]\|x\|=\wurzel{}[/mm] und in diesem Fall dann
> [mm]\|x\|=\wurzel{x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2},[/mm] richtig? Somit wär
> [mm]\|\phi(x)\|=\|x\|[/mm] oder?
>
>
> > > Und wie lasse ich [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] gegen unendlich
> > laufen?
> >
> > Den Teil siehst du ziemlich schnell, wenn du [mm]\|\phi(x)\|[/mm]
> > und [mm]\|x\|[/mm] mal genauer angeschaut hast.
>
> Dann hätte ich
> [mm]\limes_{\wurzel{x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2}\rightarrow\infty}\wurzel{x_{3}^2+x_{1}^2+x_{2}^2}=\infty[/mm]
>
> Hier ist es mir klar, da [mm]\|\phi(x)\|=\|x\|.[/mm] Wie würde das
> ganze aber funktionieren, wenn [mm]\|\phi(x)\|\not=\|x\|?[/mm] Wie
> würde ich dann so ein komisches Konstrukt wie
> [mm]\wurzel{x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2}[/mm] gegen unendlich laufen
> lassen?
>
> Vielen Dank
$ [mm] \limes_{\parallel x \parallel\rightarrow\infty}\parallel \phi(x) \parallel=\infty [/mm] $ bedeutet:
zu jedem C>0 ex. ein r=r(C)>0 mit:
[mm] ||\phi(x)||>C [/mm] für alle x mit ||x||>r.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
> [mm]\limes_{\parallel x \parallel\rightarrow\infty}\parallel \phi(x) \parallel=\infty[/mm]
> bedeutet:
>
> zu jedem C>0 ex. ein r=r(C)>0 mit:
>
> [mm]||\phi(x)||>C[/mm] für alle x mit ||x||>r.
>
> FRED
Hallo
ich tue mir oftmals etwas schwer mit den mathematischen Beschreibungen, deshalb versuche ich zu übersetzen :)
Ich muss also quasi schauen, ob mein [mm] ||\phi(x)|| [/mm] immer größer ist als mein [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] oder verstehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Mo 28.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> > [mm]\limes_{\parallel x \parallel\rightarrow\infty}\parallel \phi(x) \parallel=\infty[/mm]
> > bedeutet:
> >
> > zu jedem C>0 ex. ein r=r(C)>0 mit:
> >
> > [mm]||\phi(x)||>C[/mm] für alle x mit ||x||>r.
> >
> > FRED
>
> Hallo
>
> ich tue mir oftmals etwas schwer mit den mathematischen
> Beschreibungen, deshalb versuche ich zu übersetzen :)
>
> Ich muss also quasi schauen, ob mein [mm]||\phi(x)||[/mm] immer
> größer ist als mein [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] oder verstehe
> ich das falsch?
Ja.
$ [mm] \limes_{\parallel x \parallel\rightarrow\infty}\parallel \phi(x) \parallel=\infty [/mm] $ bedeutet:
[mm] ||\phi(x)|| [/mm] wird beliebig groß, wenn ||x|| hinreichend groß ist.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:58 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
> [mm]\limes_{\parallel x \parallel\rightarrow\infty}\parallel \phi(x) \parallel=\infty[/mm]
> bedeutet:
>
> [mm]||\phi(x)||[/mm] wird beliebig groß, wenn ||x|| hinreichend
> groß ist.
Ok, ich verstehe was der Limes an sich ist. Nur bisher kannte ich nur, wenn unter dem lim eine Variabel steht, die gegen unendlich geht.
Hier ein Beispiel um mein Problem zu verdeutlichen:
Ich habe eine andere Transformation:
[mm] \phi(x)= \vektor{x_{3} \\ x_{1} \\ \bruch{1}{2}x_{1}-x_{2}}
[/mm]
Und wenn ich nun prüfen soll, ob [mm] \limes_{\parallel x \parallel\rightarrow\infty}\parallel \phi(x) \parallel=\infty [/mm] habe ich ein Problem.
Wie prüfe ich denn, ob [mm] \limes_{\wurzel{x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2}\rightarrow\infty}\wurzel{x_{3}^2+x_{1}^2+(\bruch{1}{2}x_{1}-x_{2})^2}=\infty
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 30.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mo 28.01.2013 | | Autor: | SEcki |
> Zunächst muss ich ja überprüfen, ob die Jacobi-Matrix
> von [mm]\phi(x)[/mm] vollen Rang hat.
Naja, die Angabe der Umkehrfunktion reicht ja völlig aus ... aber nun gut.
> Als nächstes gilt zu zeigen, dass [mm]\limes_{\parallel x \parallel\rightarrow\infty}\parallel \phi(x) \parallel=\infty[/mm]
Und wa sbringt dir das? Ich sehe nicht, wie daraus globaler Diffeo folgern kannst.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
Hi
auf Seite zwei unter Satz 1 stehen genau diese 2 Bedingungen: ![[]](/images/popup.gif) Link
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Di 29.01.2013 | | Autor: | SEcki |
> auf Seite zwei unter Satz 1 stehen genau diese 2
> Bedingungen:
Da fehlt der Beweis. Und: was genau ist eine (nicht-lineare) Koordinatentransformation? Vielleicht ist da ja eine Eigenschaft dabei, die die Bedingung plausibel macht.
Für beliebige Abbildungen halte ich sie momentan noch für falsch. (Es wäre auch komisch, wenn ein so leichtes Kriterium an der Uni nicht erwähnt wurde ...)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Di 29.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
> Da fehlt der Beweis. Und: was genau ist eine
> (nicht-lineare) Koordinatentransformation? Vielleicht ist
> da ja eine Eigenschaft dabei, die die Bedingung plausibel
> macht.
>
> Für beliebige Abbildungen halte ich sie momentan noch für
> falsch. (Es wäre auch komisch, wenn ein so leichtes
> Kriterium an der Uni nicht erwähnt wurde ...)
Also ich muss sagen, bei uns Ingenieurwissenschaftlern ist es oft so, dass wir einfach Formeln vorgelegt kriegen und dann heißt es immer vom Prof: Glaubt mir das es so ist und den Beweis überlassen wir den Mathematikern :)
Aber leider finde ich das Kriterium im Gegensatz zu dir ganz und gar nicht einfach für mein zweites Beispiel. Kannst du mir denn erklären, wie ich es da anwende?
Weil wenn der Prof es uns vorgibt, wird es für die Aufgaben, die in der Prüfung dran kommen, gültig sein. Habe leider zu wenig Verständnis um aus irgendwelchen Eigenschaften auf die Plausibilität der Kriteriums zu schließen.
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