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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Grad der Verkettung
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Grad der Verkettung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:09 Fr 27.05.2005
Autor: kimnhi

Hi!
Ich habe da mal eine Frage:


welchen grad hat die verkettung der ganzrationalen funktion f vom grad n mit der funktion g vom grad m?

f(x) = $ [mm] a_{n} [/mm] $ * $ [mm] x^{n} [/mm] $ + ... + $ [mm] a_{0} [/mm] $
g(x) = $ [mm] b_{m} [/mm] $ * $ [mm] x^{m} [/mm] $ + ... $ [mm] b_{0} [/mm] $

begründen sie ihre antwort.
toll habe keine ahnung was ich hier machen soll....

aufgabe d) untersuchen sie frage c) bezüglich der beiden speizialfälle

m > 1 und n=0

sowie

m = 1 und n > 1

Ich weiss garnicht, was mit dem Grad der Verkettung gemeint ist bzw. wie man ihn ermitteln kann.
Ich weiss nur, dass es sich ber der Verkettung um f(g(x)) handeln muss und man somit dass hier rausbekommt:$ [mm] a_{n} \cdot (g(x))^{n} [/mm] $ =  $ [mm] a_{n} \cdot (b_{m} \cdot x^{m} [/mm] + ... [mm] +b_{0})^n [/mm] $ .
Wie bestimme ich nun den Grad dieser Summanden?

Vielen lieben Dank!

        
Bezug
Grad der Verkettung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:28 Fr 27.05.2005
Autor: Julius

Hallo kimnhi!

Also, man erhält ja:

$f(g(x)) = [mm] a_n(b_mx^m [/mm] + [mm] b_{m-1}x^{m-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] b_1x+b_0)^n [/mm] + [mm] a_{n-1} (b_mx^m [/mm] + [mm] b_{m-1}x^{m-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] b_1x+b_0)^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots a_1(b_mx^m [/mm] + [mm] b_{m-1}x^{m-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] b_1x+b_0) [/mm] + [mm] a_0$. [/mm]

Jetzt schauen wir uns die einzelnen Potenzen mal an:

Für ein [mm] $i\in\{0,1,\ldots,n\}$ [/mm] gilt:

[mm] $(b_mx^m [/mm] + [mm] b_{m-1}x^{m-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] b_1x+b_0)^i [/mm] = [mm] b_m^i (x^m)^i [/mm] + [mm] \ldots \quad \mbox{Terme mit niedrigeren Potenzen} [/mm] = [mm] b_m^i x^{mi} [/mm] + [mm] \ldots \quad \mbox{Terme mit niedrigeren Potenzen}$. [/mm]

Die Summanden oben sind also jeweils ganzrationale Funktionen vom Grad $mi$, für [mm] $i=0,1,\ldots,n$. [/mm] Der Grad der ganzrationalen Funktion $f [mm] \circ [/mm] g$ insgesamt ist das Maximum dieser einzelnen Grade, also $mn$.

Noch einmal "in Formeln":

$f(g(x)) = [mm] a_nb_m^n x^{mn} [/mm] + [mm] \ldots \quad \mbox{Terme mit niedrigeren Potenzen}$. [/mm]

Viele Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Grad der Verkettung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Fr 27.05.2005
Autor: kimnhi

Wurden diese Spezialfälle schon berüchtigt?
m > 1 und n=0

sowie

m = 1 und n > 1

Es tut mir leid!Ich blick da irgendwie nicht durch=(

Bezug
                        
Bezug
Grad der Verkettung: Spezialfälle
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Fr 27.05.2005
Autor: MathePower

Hallo,

die Spezialfälle sind da schon abgehandelt.

>  m > 1 und n=0

Für n=0  folgt der Grad f(g(x)) = m * 0 = 0, also eine Konstante.

> m = 1 und n > 1

Für n>1  folgt der Grad f(g(x)) = m *n = n.

Gruß
MathePower

Bezug
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