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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 So 03.01.2010 | | Autor: | Aoide |
| Aufgabe | Wir befinden uns im euklidischen Raum der Polynome [mm] R_{\le2}[x] [/mm] mit dem Skalarprodukt
<r(x), s(x)> := [mm] r_{2}s_{2} [/mm] + [mm] 2r_{1}s_{1} [/mm] + [mm] r_{0}s_{0}
[/mm]
mit r(x)= [mm] r_{2}x^2 [/mm] + [mm] r_{1}x +r_{0}
[/mm]
und s(x)= [mm] s_{2}x^2 [/mm] + [mm] s_{1}x +s_{0}
[/mm]
und der Basis = [mm] \{p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x)\}
[/mm]
mit [mm] p_{1}(x)= x^2 [/mm] + x + 1
[mm] p_{2}(x)= 6x^2 [/mm] + 2
[mm] p_{3}(x)= [/mm] 3
Daraus soll eine Orthonormalbasis nach dem Verfahren von Gram-Schmidt berechnet werden! |
Ich hänge in dieser Aufgabe etwas am Verständnis.
Wenn das Skalarprodukt sich in der AUfgabenstellung auf r(x) und s(x) bezieht, kann ich das dann beliebig auf p(x) umwandeln?
Ich würde dann [mm] q_{1} [/mm] z.B. so berechnen:
[mm] q_{1}(x)= \bruch{p_{1}(x)}{||p_{1}(x)||}
[/mm]
[mm] ||p_{1}(x)|| [/mm] = [mm] \wurzel {}
[/mm]
[mm] [/mm] = [mm] x^2*x^2 [/mm] + 2x*x + 1*1 = [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] + 1 = [mm] (x^2 +1)^2
[/mm]
Daraus die Wurzel = [mm] x^2 [/mm] + 1
Also für [mm] q_{1}= \bruch {x^2+ x + 1}{x^2 + 1}.
[/mm]
Das wäre ein Anfang. Wenn ich aber nun mit [mm] q_{1} [/mm] bei [mm] q_{2} [/mm] weiter rechne, dann komme ich auf sehr unschöne Ergebnisse. Deshalb bin ich mir nicht sicher, ob ich das Skalarprodukt aus der Aufgabenstellung immer einsetzen muss:
[mm] q_{2}= \bruch{l_{2}(x)}{||l_{2}(x)||}
[/mm]
[mm] l_{2}(x) [/mm] = [mm] p_{2}(x) [/mm] - [mm] *q_{1}(x)
[/mm]
= [mm] (6x^2 [/mm] + 2 [mm] )-\wurzel{\bruch{6x^3+2}{x^2 +1}} [/mm] * [mm] \bruch{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}
[/mm]
usw. Das hab ich dann ausmultipliziert und es kommen einfach endlos lange Polynome raus, das kann einfach nicht stimmen!
Wo liegt denn der Fehler?
Danke für die kurzfristige Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 So 03.01.2010 | | Autor: | Aoide |
Oh ich glaube, ich habe meinen Fehler gefunden!
Es muss heißen
[mm] [/mm] = 1*1 + 2*1*1 + 1*1 = 4
Daraus die Wurzel = 2
Also [mm] q_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (x^2 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] +1) = [mm] 0,5x^2 [/mm] + 0,5x + 0,5
Das ist richtiger, nicht wahr?
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> Wir befinden uns im euklidischen Raum der Polynome
> [mm]R_{\le2}[x][/mm] mit dem Skalarprodukt
> <r(x), s(x)> := [mm]r_{2}s_{2}[/mm] + [mm]2r_{1}s_{1}[/mm] + [mm]r_{0}s_{0}[/mm]
> mit r(x)= [mm]r_{2}x^2[/mm] + [mm]r_{1}x +r_{0}[/mm]
> und s(x)= [mm]s_{2}x^2[/mm] +
> [mm]s_{1}x +s_{0}[/mm]
>
> und der Basis = [mm]\{p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x)\}[/mm]
> mit
> [mm]p_{1}(x)= x^2[/mm] + x + 1
> [mm]p_{2}(x)= 6x^2[/mm] + 2
> [mm]p_{3}(x)=[/mm] 3
>
> Daraus soll eine Orthonormalbasis nach dem Verfahren von
> Gram-Schmidt berechnet werden!
> Ich hänge in dieser Aufgabe etwas am Verständnis.
> Wenn das Skalarprodukt sich in der AUfgabenstellung auf
> r(x) und s(x) bezieht, kann ich das dann beliebig auf p(x)
> umwandeln?
>
> Ich würde dann [mm]q_{1}[/mm] z.B. so berechnen:
>
> [mm]q_{1}(x)= \bruch{p_{1}(x)}{||p_{1}(x)||}[/mm]
>
> [mm]||p_{1}(x)||[/mm] = [mm]\wurzel {}[/mm]
>
> [mm][/mm] = [mm]x^2*x^2[/mm] + 2x*x + 1*1 = [mm]x^4[/mm] + [mm]2x^2[/mm] +
> 1 = [mm](x^2 +1)^2[/mm]
>
> Daraus die Wurzel = [mm]x^2[/mm] + 1
>
> Also für [mm]q_{1}= \bruch {x^2+ x + 1}{x^2 + 1}.[/mm]
>
> Das wäre ein Anfang. Wenn ich aber nun mit [mm]q_{1}[/mm] bei [mm]q_{2}[/mm]
> weiter rechne, dann komme ich auf sehr unschöne
> Ergebnisse. Deshalb bin ich mir nicht sicher, ob ich das
> Skalarprodukt aus der Aufgabenstellung immer einsetzen
> muss:
>
> [mm]q_{2}= \bruch{l_{2}(x)}{||l_{2}(x)||}[/mm]
> [mm]l_{2}(x)[/mm] = [mm]p_{2}(x)[/mm]
> - [mm]*q_{1}(x)[/mm]
> = [mm](6x^2[/mm] + 2
> [mm])-\wurzel{\bruch{6x^3+2}{x^2 +1}}[/mm] * [mm]\bruch{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}[/mm]
>
> usw. Das hab ich dann ausmultipliziert und es kommen
> einfach endlos lange Polynome raus, das kann einfach nicht
> stimmen!
>
> Wo liegt denn der Fehler?
> Danke für die kurzfristige Hilfe!
EDIT:
>Oh ich glaube, ich habe meinen Fehler gefunden!
>Es muss heißen
>$ [mm] [/mm] $ = 1*1 + 2*1*1 + 1*1 = 4
>Daraus die Wurzel = 2
>
>Also $ [mm] q_{1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ * $ [mm] (x^2 [/mm] $ + $ [mm] x^2 [/mm] $ +1) = $ [mm] 0,5x^2 [/mm] $ + 0,5x + 0,5
>
>Das ist richtiger, nicht wahr?
Hallo,
ja, so geht's.
Gruß v. Angela
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