Greensche Funktion Laplace < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Mo 23.04.2012 | | Autor: | adefg |
| Aufgabe | In der Vorlesung wurde die Green-Funktion für die Einheitskugel [mm] $B(0,1)\subset\mathbb R^n$ [/mm] die Funktion [mm] $G(x,y)=\Phi(y-x) [/mm] - [mm] \Phi\left(|x|-y-\frac{x}{|x|}\right)$ [/mm] angegeben, wobei [mm] $\Phi$ [/mm] die Fundamentallösung für [mm] $\mathbb R^n$ [/mm] des Laplace-Operators ist.
Zeigen Sie, dass G tatsächlich die Green-Funktion ist. |
Meine Frage zu dieser Aufgabe ist: Was muss ich da eigentlich zeigen? Ich habe versucht eine Definition zur Green-Funktion zu finden, die mir sagt, was ich nachweisen muss, um zu zeigen, dass eine Funktion Greensche Funktion ist, aber wirklich fündig geworden bin ich nicht. Im Skript finde ich leider auch nix.
Muss ich zeigen, dass G die DGL [mm] $-\Delta [/mm] u =0$ erfüllt? Aber das wäre doch eigentlich klar, weil [mm] $\Phi$ [/mm] bereits eine Fundamentallösung ist? [mm] o_o
[/mm]
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
wenn wir z.B. einen linearen Differentialoperator [mm] $\mathcal [/mm] L$ haben, der z.B. [mm] $\partial [/mm] / [mm] \partial [/mm] x$ sein kann, dann ist die Green'sche Funktion dadurch definiert, dass
[mm] $\mathcal [/mm] L [mm] \mathcal [/mm] G(x) = [mm] \delta(x)$
[/mm]
ist.
Die Green'sche Funktion ist also die Loesung einer linearen, inhomogenen Differentialgleichung, wobei die Inhomogenitaet durch die Dirac'sche Delta-Distribution [mm] $\delta(x)$ [/mm] gegeben ist.
D.h. was du zeigen koenntest ist, dass der Laplace-Operator auf deine Loesungsfunktion angewandt die Dirac'sche Delta-Distribution ergibt.
Ansonsten steht in der ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia auch noch etwas dazu.
LG
Kroni
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:20 Mi 25.04.2012 | | Autor: | adefg |
Ah, das heißt ich muss im Grunde genommen meine Greensche Funktion in die DGL einsetzen und zeigen, dass die Delta-Distribution rauskommt?
Was ich mich frage: Ist das nicht eigentlich klar? [mm] $\Phi$ [/mm] hatten wir definiert als Fundamentallösung der Laplace-Gleichung, dann ist doch [mm] $\Delta \Phi(y-x)=0$ [/mm] und [mm] $\Delta\Phi\left(|x|y-\frac{x}{|x|}\right)=0$ [/mm] allein schon wegen der Beschaffenheit von [mm] $\Phi$, [/mm] so dass man nur die Stellen, an denen $y=x$ bzw. [mm] $y=\left(\frac{x}{|x|}\right)^2$ [/mm] gilt, da [mm] $\Phi$ [/mm] hier nicht harmonisch ist. Und diese Stellen hatten wir in der Vorlesung gerade über die [mm] $\delta$-Funktion [/mm] charakterisiert.
Irgendwie kommt mir das so vor als mache ich mir das viel zu einfach :s
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Sa 28.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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