Grenwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 So 15.05.2005 | | Autor: | Mopetz |
Hallo zusammen!
Kann mir mal jemand erklären wie man das antellt, wenn ich mein x bei einer Grenzwertbestimmung nicht gegen unendlich laufen lasse, sondern gegen 1?
Was passiert z.B. für limes x gegen 1 für [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] - [mm] \bruch{3}{1-x^3}
[/mm]
Gibt es damit nicht quasi eine Division durch 0?
Bekomme ich als Lösung für den ersten Bruch "unendlich" raus?
Was ist mit dem zweiten Bruch? Bekomme ich dabei ein "kleines bisschen mehr als unendlich" raus?
entsprechendes Problem ergibt sich auch bei limes x gegen pi/2 für
1 - sin (x)
------------
cos (x)
(sorry, hab das irgendwie nicht mit dem Sinus in sauberer Schreibweise hinbekommen....)
Hier also auch wieder die Sache, das ich nicht gegen unendlich laufe, sondern gegen einen konkreten Wert.
Vielen Dank für Eure Hilfe
Mopetz
Ich habe im Internet nach meinem Problem gesucht, finde aber immer nur beispiele für Grenzwertbestimmungen, wenn x gegen unendlich läuft.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 So 15.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Mopetz
>
> Was passiert z.B. für limes x gegen 1 für [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] -
> [mm]\bruch{3}{1-x^3}[/mm]
>
> Gibt es damit nicht quasi eine Division durch 0?
Ja, genau.
> Bekomme ich als Lösung für den ersten Bruch "unendlich"
> raus?
Ja, und auch der zweite Bruch geht gegen unendlich!
> Was ist mit dem zweiten Bruch? Bekomme ich dabei ein
> "kleines bisschen mehr als unendlich" raus?
>
Die Frage ist nur, wie schnell die gegen Unendlich laufen. Vermag das eine Unendlich das Andere zu neutralisieren?
Um das herauszufinden, nimmst du beide Brüche wohl zusammen auf einen Bruch. Vielleich kürzt sich dann etwas weg. Oder zumindest kann man diesen einen Bruch dann untersuchen!
Hier also:
[mm] $\bruch{1}{1-x}-\bruch{3}{1-x^3}=\bruch{x^2+x+1}{1-x^3}-\bruch{3}{1-x^3}=\bruch{x^2+x-2}{1-x^3}$
[/mm]
Hier erkennst du, dass sowohl Zähler als auch Nenner gegen Null streben, für x gegen 1.
Somit kannst du die Regel von de l'Hospital anwenden:
Die Ableitung des Zählers bilden, und auch des Nenners. Der neue Bruch hat dann den gleichen Grenzwert wie der ursprüngliche:
[mm] $\bruch{2x+1}{-3x^2}$
[/mm]
Jetzt strebt der Zähler gegen 3, und der Nenner gegen -3. der gesamte Ausdruck strebt also gegen -1. 
> entsprechendes Problem ergibt sich auch bei limes x gegen
> pi/2 für
>
> 1 - sin (x)
> ------------
> cos (x)
>
So, das kannst du ja mal selber versuchen, einfach die Regel von de l'Hospital anwenden: Ableitung des Zählers durch Ableitung des Nenners.
Wenn immer noch sowohl Zähler als auch Nenner gegen Null laufen, einfach wiederholen!
Die gleiche Methode funktioniert auch, wenn sowohl Zähler als auch Nenner gegen [mm] $\infty$ [/mm] laufen.
Du darfst gerne deine Rechnung mit dem Sinus und Cosinus hier präsentieren. Wir werden das dann begutachten und sicher ein Lob aussprechen, oder aber auch weiterhelfen, sollte es wider Erwarten nicht klappen! 
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Mopetz |
Hey, vielen Dank für die schnelle Antwort!
Hab mir den Satz von l'hospital mal genauer angeschaut. Er lässt sich nur anwenden, wenn ich einen Bruch habe, bei dem sowohl Nenner als auch Zähler gleichzeitig +-unendlich oder gegen 0 laufen, oder?
Für die Lösung der zweiten Aufgabe
lim x gegen pi/2 für
1-sin(x)
---------
cos(x)
ergibt sich nach einmaliger Anwendung von l'hospiral:
-cos(x)
--------- = 0
-sin(x)
Vielen Dank nochmals für die schnelle Hilfe!
(Nebenbei, gibt es überhaupt noch eine (einfache) andere Lösungsmöglichkeit wenn man l'hospital nicht kennt?)
Tschau,
Mopetz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hey, vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
> Hab mir den Satz von l'hospital mal genauer angeschaut. Er
> lässt sich nur anwenden, wenn ich einen Bruch habe, bei dem
> sowohl Nenner als auch Zähler gleichzeitig +-unendlich oder
> gegen 0 laufen, oder?
>
> Für die Lösung der zweiten Aufgabe
>
>
> lim x gegen pi/2 für
>
> 1-sin(x)
> ---------
> cos(x)
>
> ergibt sich nach einmaliger Anwendung von l'hospiral:
>
> -cos(x)
> --------- = 0
> -sin(x)
>
Man sollte hier vielleicht noch erwähnen dass man hier dann z.B. den Grenzwert [mm] \frac{ 1- \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{x})}{cox ( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{x})} [/mm] für $ x [mm] \to \infty [/mm] $ betrachten kann, und dann die L'Hospitalsche Regel anwenden kann, weil du ja oben schon festgestellt hast, dass die nur für x gegen 0 oder [mm] $\infty$ [/mm] gilt.
Mit etwas Folgentheorie kann man aber zeigen, dass die entsprechenden Grenzwerte gleich sind und ich dann auch über "meinen" Grenzwert auf dein Ergebnis kommen sollte. Das Eklige ist nun aber dass man eine verkettete Funktion hat, die man Ableiten soll und dann noch 1/x ableiten soll, was nicht sehr angenehm ist.
Formal wäre es aber korrekter in diesem Fall, denke ich.
Gruß Micha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Micha!
Bei dem Grenzwertsatz nach de l'Hospital ist doch völlig egal, gegen welchen Wert meine Variable (hier: $x$) strebt.
Wichtig ist nur, daß es sich um einen Bruch handelt, bei dem Zähler und Nenner beide gegen [mm] $\pm \infty$ [/mm] oder $0$ streben (so wie Mopetz das völlig richtig geschrieben hatte).
Damit ist Deine Umformung doch gar nicht erforderlich (und wie Du selber bemerkt hast, "schön kompliziert") .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Mopetz |
Vielen Dank für Eure schnelle ausfürliche Hilfe!
|
|
|
|
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Ganz genau !!
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
...
