Grenzen finden < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Sa 24.09.2011 | | Autor: | frank85 |
| Aufgabe | Es sei K [mm] \subset R^2 [/mm] die kompakte Menge im 1. Quadranten, die von den Kurven xy = 1,
xy = 2, y = x und y = 4x berandet wird. Berechne das Integral
[mm] \int_K {x^2y^2 dxdy} [/mm] durch Transformation auf (naheliegende) neue Koordinaten u, v mit [mm]u=xy, v=\bruch{y}{x}[/mm] |
Habe zunächste die 4 Kurven gezeichnet und dann folgendes gemacht:
[mm]u=xy, v=\bruch{y}{x}[/mm] also ist [mm]x=\wurzel{u}{v} ,y=\wurzel{uv}[/mm]
dann muss man die Determinante der Jakobi Matrix ausrechnen, war kein Problem. Also konnte ich loslegen:
[mm]\int_K {x^2y^2 dxdy}=\int_K{x^2y^2*|det H|dudv}=\int_K {u^2*\bruch{1}{2v}dudv[/mm]
jetzt müsste ich das Integral lösen, nur weiß ich leider nicht wie die Grenzen zu setzen sind.
Es muss ja irgendwie Minimum und Maximum von u sein,aber das sehe ich aus der Skizze ja gar nicht.
![[]](/images/popup.gif) Skizze von wolframalpha
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Hallo.
Ich denke, die Grenzen kannst du doch einfach ablesen aus der Menge K.
Es gilt ja u=x*y und [mm] v=\bruch{y}{x}
[/mm]
Und es gilt ja x*y=u=1 und x*y=u=2.
Und es gilt [mm] \bruch{y}{x}=v=1 [/mm] und [mm] \bruch{y}{x}=v=4.
[/mm]
Daraus folgt ja
[mm] \integral_{1}^{4}(\integral_{1}^{2} u^2\cdot{}\bruch{1}{2v}du)dv
[/mm]
gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Sa 24.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> Hallo.
> Ich denke, die Grenzen kannst du doch einfach ablesen aus der Menge K.
Das denke ich auch
> Es gilt ja u=x*y und [mm]v=\bruch{y}{x}[/mm]
> Und es gilt ja x*y=u=1 und x*y=u=2.
> Und es gilt [mm]\bruch{y}{x}=v=1[/mm]
Wie kommst du denn auf [mm]\bruch{y}{x}=v=1[/mm]? Ist nicht eher aus der gegebenen Bedingung [mm]y=x\rightarrow\bruch{y}{x}=0=v[/mm]?
> und [mm]\bruch{y}{x}=v=4.[/mm]
Das kommt ja dann von der Bedingung [mm]y=4x\rightarrow\bruch{y}{x}=4=v.[/mm]
> Daraus folgt ja
> [mm]\integral_{1}^{4}(\integral_{1}^{2} u^2\cdot{}\bruch{1}{2v}du)dv[/mm]
Müsste es dann nicht heißen:
[mm]\integral_{\red{0}}^{4}(\integral_{1}^{2} u^2\cdot{}\bruch{1}{2v}du)dv[/mm]
> gruß
> TheBozz-mismo
Danke!
ach, [mm] \bruch{x}{x} [/mm] ist 1, nicht null....danke, bist super
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Hallo frank85,
> > Hallo.
> > Ich denke, die Grenzen kannst du doch einfach ablesen
> aus der Menge K.
> Das denke ich auch
> > Es gilt ja u=x*y und [mm]v=\bruch{y}{x}[/mm]
> > Und es gilt ja x*y=u=1 und x*y=u=2.
> > Und es gilt [mm]\bruch{y}{x}=v=1[/mm]
> Wie kommst du denn auf [mm]\bruch{y}{x}=v=1[/mm]? Ist nicht eher
Das folgt aus der Randkurve y=x.
> aus der gegebenen Bedingung
> [mm]y=x\rightarrow\bruch{y}{x}=0=v[/mm]?
Nein.
> > und [mm]\bruch{y}{x}=v=4.[/mm]
> Das kommt ja dann von der Bedingung
> [mm]y=4x\rightarrow\bruch{y}{x}=4=v.[/mm]
> > Daraus folgt ja
> > [mm]\integral_{1}^{4}(\integral_{1}^{2} u^2\cdot{}\bruch{1}{2v}du)dv[/mm]
>
> Müsste es dann nicht heißen:
> [mm]\integral_{\red{0}}^{4}(\integral_{1}^{2} u^2\cdot{}\bruch{1}{2v}du)dv[/mm]
>
Ebenfalls nein.
> > gruß
> > TheBozz-mismo
> Danke!
>
> ach, [mm]\bruch{x}{x}[/mm] ist 1, nicht null....danke, bist super
Gruss
MathePower
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