Grenzkosten < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Toomi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
werde am Dienstag zu vielen Mathethemen geprüft..
Eins davon werden Grenzkosten sein..
Allerding weiß ich noch nicht genau wasman darunter versteht... ich weiß das man es mit K´(x) ausrechnet...
Die Erklärung im meinem Mathebuch ist folgende: Die Grenzkosten geben die Kostenänderungstendent bei einer bestimmten Peoduktionsmenge an, wenn die Produktion um eine unendlich kleine Einheit erhöht oder vermindert wird.
Das verstehe ich aber nicht so genau...was ist denn mit "unendlich kleine Einheit erhöht" gemeint? komme da irgendwie nicht weiter..
Gruß Toomi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Mutter |
$K(x)$ ist eine Kostenfunktion, d.h. die gegebenen Produktionskosten lassen sich als Funktional darstellen. Mit $x$ eindimensional und dem Wissen um
[mm] $K'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\bruch{K(x+h)-K(x)}{h}$
[/mm]
und der geometrischen Interpretation der Ableitung ist diese doch die Steigung der Funktion.
Du kannst Dir die Grenzkosten als Approximation vorstellen. Sei $K'(x)$ gegeben, dann ist nahe bei einem festen $x$ für ein kleines $h$ doch
[mm] $K(x+h)\approx [/mm] K(x)+K'(x)h$
Die kleine Einheit kommt daher, dass es für grosse $h$ sehr weit daneben liegt. Darum gilt es nur in der Nähe. Für eine lineare Funktion $K(x)=a+bx$ erhältst Du die tatsächlichen Kostenfunktion zurück. Falls aber zum Beispiel [mm] $K(x)=\sin(x)+1$ [/mm] (sehr unrealistisch) und [mm] $x=\pi$ [/mm] siehst Du sehr schnell, dass Du für [mm] $h=100\pi$ [/mm] (beispielsweise) die tatsächlichen Kosten enorm unterschätzen wirst. Am besten zeichnest Du es Dir auf.
Andererseits kann man auch direkt über die Ableitung argumentieren, die halt als Grenzwert und somit "infinitesimal" definiert ist.
Das mit der nächsten Einheit ist eine Interpretation, die daher rührt, dass man meist halt mindestens eine ganze Einheit produzieren muss (halbe Äpfel wachsen nicht an Bäumen) und diese eine Einheit sollte infinitesimal klein sein, da ansonsten wie oben die tatsächlichen Kosten falsch geschätzt werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Toomi |
Halleluja du scheinst im Sprach Lk gewesen zu sein ;)
Sehr viele Begriffe die ich teilweise nicht verstanden habe...
Allerdings und das ist das gute hast du mein Hauptproblem glaube ich gelöst ;)
Ich sehe es jetzt doch richtig wenn ich sage, die Grenzkosten sind die kosten für die kleinste zu produzierende Einheit?
Wenn ich das Beispiel mit dem Apfel richtig verstanden habe, sagt dies doch aus, dass ich wenn ich meinetwegen eine Funktionsgleichung habe in der 100 Autos produziert werden die Grenzkosten die Kosten für 1 Auto sind oder? Denn ein halbes auto zu produzieren wäre ja unsinn...
Allerdings wären dieses doch auch die Stückkosten oder nicht ?
Hilfe =/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Mutter |
Richtig. Im Wesentlichen berücksichtigt diese eine infinitesimale (d.h. unendlich kleine) Einheit, dass man mindestens ein Stück produzieren muss. Der springende Punkt ist, dass die Stückkosten nicht für jede Einheit dieselbe sondern von der bereits produzierten Menge abhängig sind. Wenn Deine Kostenfunktion also "schön", d.h. fast linear ist auf einem Gebiet, das nur eine Abweichung von einem "Stück" umfasst, dann sind die Gesamtkosten von der bisherigen Menge und der zusätzlichen Einheit etwa
[mm] $K(x+1)\approx [/mm] K(x)+K'(x)*1$.
Die Stückkosten werden bestimmt (glaube ich, ich habe VWL gemacht und nicht eklige BWL) durch [mm] $\bruch{K(x)}{x}$, [/mm] was nicht dasselbe sein muss wie [mm] $\bruch{K(x+1)-K(x)}{1}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Toomi |
Gut dann habe ich es jetzt glaube ich verstanden...
Zusammendfassend kann ich doch jetzt sagen:
Stückkosten= Kosten pro Stück, diese müssen aber nicht immer gleich sein.. Stückkosten können bei einer produzierten Menge von 50ME anders sein als bei einer produzierten Menge von 70Me.
hingegen den Grenzkosten.
Grenzkosten= Erste produzierte Einheit, da halbe oder viertel Einheiten keinen Sinn machen ist es immer die erste voll produzierte Einheit.
Alles richtig oder noch irgendwo Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Mutter |
Das "hingegen" stört.
Die Grenzkosten müssen nicht konstant sein. Wichtig ist zu betonen, dass die Grenzkosten in etwa die Kosten der nächsten produzierten Einheit sind. Nicht der ersten.
Du kannst die Grenzkosten der ersten Einheit abschätzen durch K'(0) und Du kannst die Grenkosten der 51. Einheit abschätzen durch K'(50).
Also:
Grenzkosten= Erste zusätzlich produzierte Einheit, da halbe oder viertel Einheiten keinen Sinn machen ist es immer die erste zusätzliche voll produzierte Einheit.
Wichtig ist, dass dies nicht stimmen muss. Die Kosten der 51. Einheit sind ganz klar K(51)-K(50).
Aber es gilt eben [mm] $K(51)\approx K(50)+K'(50)*1\Rightarrow K(51)-K(50)\approx [/mm] K'(50)$ aber eben meist nicht genau! Darum hoffen wir, dass "eine Einheit klein" ist, da die Schätzung dann genauer ist.
Es ist ein ungenaues Konzept, was an "halbe oder viertel Einheiten machen keinen Sinn" liegt.
Zeichne eine Kostenfunktion $K(x)$, zeichne an der Stelle [mm] $x_{0}$ [/mm] den Graphen von [mm] $G(x):=K(x_{0})+K'(x_{0})*x$ [/mm] ein.
Mach das für folgende Beispiele sauber und in Ruhe:
1. [mm] $K(x)=\bruch{\pi}{4}*x, x_{0}:=1$
[/mm]
2. [mm] $K(x)=tan(\bruch{\pi}{4}*x), x_{0}:=1$
[/mm]
Dann berechne in beiden Beispielen $G(1)$, die Kosten der über [mm] $x_{0}$ [/mm] hinaus prodzierten Einheiten. Achtung: [mm] $G(1)\approx [/mm] K(2)$, okay?
Die Funktionen sind ein bisschen eklig, aber das dient nur der Verdeutlichung.
Damit Du nicht gross rechnen musst (da das nicht im Zentrum der Überlegung stehen soll):
[mm] $\tan'(f(x))=\bruch{1}{(\cos(f(x))^{2}}*f'(x)$
[/mm]
mit hier [mm] $f(x)=\bruch{\pi}{4}*x$
[/mm]
Du wirst sehen, dass im ersten Beispiel die Abschätzung sehr gut (exakt) ist und dass sie im zweiten Beispiel keinen Sinn macht.
edit: die Bedeutung und das Argument von $G$ waren falsch. Sorry.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Toomi |
Danke erstmal das du dir soviel Zeit zur beantwortund meiner Fragen nimmst. ;)
Bis zu dem kopierten Teil unten komme ich mit und das ist auch das wichtige...was du im folgenden schreibst übersteigt glaube ich meine mathematischen Fähigkeiten.. haben noch nich groß mit "tan" und "cos" gearbeitet.. sind nur nen 12er Grundkurs.. ;)
Gruß Toomi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Mutter |
Gern geschehen. Pass auf, ich hatte Fehler in der formalen Form der obigen Antwort.
Einfacheres Beispiel, wo der Effekt aber nicht so deutlich ist:
1. $K(x)=x$
2. [mm] $K(x)=x^{3}$
[/mm]
Wähle wieder [mm] $x_{0}=1$. [/mm] Okay? Dieses Beispiel sollte gehen. (Zeichne sie nur für x zwischen 0 und ganz wenig mehr als 2).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Toomi |
was meinst du mit Xo= 1 ?
also dem Xo ??
Toomi
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:41 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Toomi |
was meinst du mit Xo= 1 ?
also dem Xo ??
Toomi
habe ausversehen eine Mitteilung gemacht keine Frage..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 14.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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