Grenzwert < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Mi 30.09.2015 | | Autor: | Hias |
| Aufgabe | Ich möchte den Grenzwerte von
[mm] $$\bruch{2 \varepsilon^2(b-r)}{(\varepsilon^2-(b-r)^2)^2}*exp(1-\bruch{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2}) [/mm] $$
berechnen, für $r-> [mm] b\pm\varepsilon$. [/mm] |
Ich hätte zwei Fragen.
Erstens: Genügt es zu argumentieren, das [mm] $exp(1-\bruch{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2}) [/mm] $ schneller fällt als das Polynom wächst und somit der Grenzwert an den beiden Stellen =0 ist?
Zweitens: Ich habe versucht den Grenzwert mit L´Hopial zu berechnen, jedoch bekomme ich beim ableiten den Bruch immer wieder zurück, so dass sich der Lopital endlos fortsetzt. Kann das sein, bzw. kann man es trotzdem explizit berechnen?
Danke im Voraus
Hias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Mi 30.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich möchte den Grenzwerte von
> [mm]\bruch{2 \varepsilon^2(b-r)}{(\varepsilon^2-(b-r)^2)^2}*exp(1-\bruch{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2})[/mm]
>
> berechnen, für [mm]r-> b\pm\varepsilon[/mm].
> Ich hätte zwei
> Fragen.
> Erstens: Genügt es zu argumentieren, das
> [mm]exp(1-\bruch{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2})[/mm]
> schneller fällt als das Polynom wächst und somit der
> Grenzwert an den beiden Stellen =0 ist?
> Zweitens: Ich habe versucht den Grenzwert mit L´Hopial zu
> berechnen, jedoch bekomme ich beim ableiten den Bruch immer
> wieder zurück, so dass sich der Lopital endlos fortsetzt.
> Kann das sein, bzw. kann man es trotzdem explizit
> berechnen?
>
> Danke im Voraus
> Hias
Ich stelle fest (dabei gehe ich von [mm] \varepsilon [/mm] >0 aus):
ist $ r<b- [mm] \varepsilon$, [/mm]
so ist
[mm] 1-\bruch{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2}=\bruch{-(b-r)^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2} [/mm] >0.
Somit
[mm] $1-\bruch{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2} \to [/mm] + [mm] \infty$ [/mm] für $ r [mm] \to [/mm] b- [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Damit haben wir auch
[mm] $exp(1-\bruch{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2}) \to [/mm] + [mm] \infty$ [/mm] für $ r [mm] \to [/mm] b- [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Folglich:
$ [mm] \bruch{2 \varepsilon^2(b-r)}{(\varepsilon^2-(b-r)^2)^2}\cdot{}exp(1-\bruch{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2}) \to [/mm] + [mm] \infty$ [/mm] für $ r [mm] \to [/mm] b- [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Dh.: in diesem Fall ex. der Grenzwert nicht in [mm] \IR [/mm] !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Mi 30.09.2015 | | Autor: | Hias |
Ja das ist mein Fehler, außerhalb des Intervalls von [mm] $(b-\varepsilon, b+\varepsilon)$ [/mm] möchte ich mit der 0 fortsetzten.
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