Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 So 28.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
ich hätte eine Frage und zwar, wenn ich $x<1$ habe und [mm] $lim_{n \rightarrow \infty}n x^n$ [/mm] betrachte, wieso konvergiert das gegen 0 bzw. tut es das, weil ich sehe es nicht, aber laut Skript stimmt es wohl.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 So 28.02.2016 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hi,
> ich hätte eine Frage und zwar, wenn ich [mm]x<1[/mm] habe und
> [mm]lim_{n \rightarrow \infty}n x^n[/mm] betrachte, wieso
> konvergiert das gegen 0 bzw. tut es das, weil ich sehe es
> nicht, aber laut Skript stimmt es wohl.
> Viele Grüße,
> Reynir
das ist ein Produkt eines Polynoms (bzw. eines Monoms) $n$ und einer Exponentialfunktion [mm] $x^n$. [/mm] Da Exponentialfunktionen 'schneller' wachsen als jedes Polynom kovergiert der Term gegen 0.
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 So 28.02.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Reynir!
Die Aussage stimmt nur für [mm] $|x|<1\$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Mo 29.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> ich hätte eine Frage und zwar, wenn ich [mm]x<1[/mm] habe und
> [mm]lim_{n \rightarrow \infty}n x^n[/mm] betrachte, wieso
> konvergiert das gegen 0 bzw. tut es das, weil ich sehe es
> nicht, aber laut Skript stimmt es wohl.
> Viele Grüße,
> Reynir
Die Acht hats schon gesagt: es sollte $|x|<1$ lauten. Sei also $|x|<1$.
Für x=0 ist die Sache klar. Den Fall x<0 kann man auf den Fall x>0 zurückführen:
ist x<0, so ist t:=-x >0 und [mm] nx^n=n(-t)^n=(-1)^nnt^n.
[/mm]
Bleibt noch der Fall x>0. Wegen [mm] \bruch{1}{x}>1 [/mm] gibt es ein a>0 mit [mm] \bruch{1}{x}=1+a.
[/mm]
Mit dem binom. Satz bekommen wir für n>1:
[mm] $\bruch{1}{x^n}=(1+a)^n [/mm] > [mm] \vektor{n \\ 2}a^2=\bruch{a^2*n*(n-1)}{2}, [/mm] $
also
[mm] $x^n [/mm] < [mm] \bruch{2}{a^2*n*(n-1)}$
[/mm]
und somit
$0 < [mm] nx^n <\bruch{2}{a^2*(n-1)}$ [/mm] für n>1.
Mit dem "Sandwich- Theorem" folgt nun die Behauptung.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Mo 29.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
danke für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Di 01.03.2016 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit: betrachte die Reihe
(*) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}nx^n
[/mm]
und bemühe das Wurzelkriterium:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|nx^n|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}|x|=|x|$
[/mm]
Nun sieht man: für $|x|<1$ ist die Reihe in (*) konvergent, somit ist für diese x die Folge [mm] (nx^n) [/mm] eine Nullfolge.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Mo 07.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
auch hier danke ich dir für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Reynir
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