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| Aufgabe | Zeigen Sie mit der Definition des Grenzwertes [mm] (\epsilon [/mm] -N-Technik):
a) [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{n^3+5*n}{3*n^3-6} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3};
[/mm]
b) [mm] limes_{n \to \infty}((-1)^n*(n^2/(2^n)) [/mm] = 0. |
Ich habe diese Terme in die Definition des Grenzwertes eingesetzt, komme aber leider mit dem Umformen nicht mehr weiter. Erstens weiß ich nicht, was ich für das Epsilon einsetzen muss, und wie ich dann auf das n komme??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Di 07.11.2006 | | Autor: | SusiSunny |
Also ich würde mich trotz der überschrittenen Fälligkeit freuen, wenn ich eine Antwort auf meine Frage finden würde, denn nach einigen erfolglosen Lösungsansätzen, muss ich sonst aufgeben!!
Also würde mich über einen Lösungsversuch freuen.
MfG Susi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Di 07.11.2006 | | Autor: | max3000 |
Aufgabe 1:
Stelle erst einmal die Gleichung |an-a|<e auf und stelle das was im Betrag steht um nach:
[mm] \bruch{5+2/n}{2n^{2}+n^{2}-6/n}
Jetzt ist es ratsam ein N zu wählen. Da neghmen wir mal 2 und jetzt musst du für n>2 ein e aufstellen.
Aus unserem umgestellten Bruch ergibt sich [mm] \bruch{6}{2n^{2}}<=e.
[/mm]
Daraus folgt wiederrum, dass [mm] N>=\wurzel{3/e} [/mm] ist.
Das Ergebnis lautet nun [mm] \forall [/mm] e>0 [mm] \exists [/mm] N >= [mm] max(2,\wurzel{3/e}): \bruch{5n+2}{3n^{3}-6}
Wie es scheint studierst du im 1. Semester an der TU-Dresden. Ich nämlich auch und stehe genau vor den selben Problemen. Halt einfach mal morgen vor der LAAG-Vorlesung nach einem Typen mit grüner Jacke und Kippe im Mund ausschau. Das bin ich. Da können wir den Rest auch mal vergleichen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Di 07.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ist das hier diese [mm] \varepsilon-N-Technik?
[/mm]
[mm] |a_n-g|<\varepsilon
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Di 07.11.2006 | | Autor: | SusiSunny |
Ja genau! Hab das dann eingesetzt und komme beim Umformen nicht mehr weiter!!
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hey,
also die a ist wirklich einfach.
also:
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{n^3+5\cdot{}n}{3\cdot{}n^3-6}
[/mm]
das teilst du nun durch [mm] n^3.
[/mm]
das solltest du einfach schaffen. dann ziehst du das lim was du noch vor dem bruch stehe hast vor alle nullfolgen und dann siehst dus chon das der grenzwert nur 1/3 sein kann.viel erfolg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Di 07.11.2006 | | Autor: | SusiSunny |
Ja das hätte ich auch so gemacht. Aber wir sollen die e-N-Technik dabei anwenden, also |an-a|<e. Deshalb kann man es so bestimmt nicht beweisen!! Hast du vielleicht eine Idee wie ich es damit beweisen kann??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Di 07.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Ok, also:
[mm] |a_n-g|<\varepsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{n³+5n}{3n³-6}-\bruch{1}{3}|<\varepsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{n³+5n}{3n³-6}-\bruch{n³-2}{3n³-6}|<\varepsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{n³+5n-n³+2}{3n³-6}|<\varepsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{5n+2}{3n³-6}|<\varepsilon
[/mm]
Nunja, für n=1 ist der Ausdruck in den betragsstrichen negativ,a ber das kann man eigentlich ignorieren, da n ga gegen unendlich laufe soll. Ab n>1 wird der Bruch also immer postitiv, also kann man die Betragsstriche auch ignorieren.
[mm] \bruch{5n+2}{3n³-6}<\varepsilon
[/mm]
Hm... nun weiß ich auch nicht so recht weiter. Das ist sicher auch die Stelle, an der du hängst.
Ich würde halt so argumentieren: Egal wie klein man das [mm] \varepsilon [/mm] wählt, es gibt immer unendliche viele ns, bei dem der Bruch kleiner wird, weil der Nenner im Bruch schneller steigt als der Zähler. Das heißt, dass der Bruch eine Nullfolge ist... Könnt man nun mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{5n+2}{3n³-6} [/mm] beweisen. Aber das sollt ihr sicher nicht so machen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Di 07.11.2006 | | Autor: | SusiSunny |
Ich war genau bis zu dem Punkt, an dem du warst. Ich bezweifle aber, dass ich das so argumentieren kann!
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Sleepy |
Hi Susi Sunny hab ein ähnliches Problem mit der Aufgabe...hat sie der gute Prof Voigt wieder was Schickes für uns ausgedacht.
Naja es wird schon werden
Bin genausoweit wie ihr. Vielleicht kann man sich ja mal zusammensetzen und einige Probleme erörtern.
MfG Jens
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