Grenzwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo zusammen,
ich habe ein kleines formeles Problem. Ich soll den rechten Limes von [mm]\bruch{x^m-1}{x^n-1}[/mm] gegen 1 bestimmen.
Ich weiß, dass der gleich [mm]\bruch{m}{n}[/mm] ist. Habe dass durch l'Hopital berechnet. Jedoch dürfen wir den noch nicht benutzen. Und jetzt weiß ich nicht so recht, wie ich dass formel beweisen kann bzw. aufschreiben soll.
Könntet ihr mir da helfen?
Jessica
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jessica,
erst einmal ein Tipp, mit dem du es selbst versuchen solltest: Kennst du die Formel für die geometrische Summe? Hier ist sie:
[mm]\sum\limits_{i=0}^{n-1} x^i = \frac{x^n - 1}{x-1}[/mm].
Die kann man ja jetzt mal für [mm]n[/mm] und [mm]m[/mm] hinschreiben, auflösen, den fraglichen Bruch hinschreiben, kürzen, den Grenzwert bilden und -siehe da- dann steht es da. 
Melde dich doch mal mit einem Lösungsversuch.
Alles Gute
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Do 22.01.2004 | | Autor: | Jessica |
Danke, dass werde ich dann mal ausprobieren und meinen Lösungsversuch euch schreiben.
Danke Jessica.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Do 22.01.2004 | | Autor: | Jessica |
Danke Stefan für den Tipp.
Habe es nach etwas knobeln herausgefunden und hier ist nun meine Lösung:
Es gilt:
[mm]\bruch{x^m-1}{x^n-1}=\bruch{x^m-1}{x-1}*\bruch{x-1}{x^n-1}=\bruch{x^m-1}{x-1}:\bruch{x^n-1}{x-1}=\summe_{i=0}^{m-1}x^i:\summe_{k=1}^{n-1}x^k[/mm]
(Sorry ich wusste nicht wie ich so einen Doppelbruch schreiben kann. Ich hoffe man versteht es.)
Für x gegen 1 gilt dann:
[mm]\summe_{i=0}^{m-1}x^i=\summe_{i=0}^{m-1}1^i=m*1=m[/mm]
und
[mm]\summe_{k=0}^{n-1}x^k=\summe_{k=0}^{n-1}1^k=n*1=n[/mm]
Somit ist dann
rechter limes von [mm]\bruch{x^m-1}{x^n-1}[/mm]= rechter limes von [mm]\summe_{i=0}^{m-1}x^i:\summe_{k=1}^{n-1}x^k[/mm]=[mm]\summe_{i=0}^{m-1}1^i:\summe_{k=0}^{n-1}1^k=\bruch{m*1}{n*1}=\bruch{m}{n}[/mm]
Also das ist mein Lösungsweg. Ich denke mal das der so richtig ist. Danke nochmals für den Tipp.
Jessica.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Do 22.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jessica,
es ist so grundsätzlich richtig. Die Schreibweise ist nicht immer ganz korrekt, da die "Limes"-Zeichen fehlen, aber das wirst du schriftlich auf einem Blatt Papier schon korrekt formulieren, da bin ich mir sicher.
Super! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Stefan
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