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| Aufgabe | [mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{1-x}{1-\wurzel{x}}
[/mm]
x-->1
irgendwie krieg ich das mit der Darstellung oben nicht ganz hin |
Was ist der Grenzwert?
wenn ich für x "1" einsetze, erhalte ich [mm] \bruch{0}{0}. [/mm] Folgedes habe ich mir überlegt.
Division durch Null: Nich erlaubt, also grenzwert unedlich
[mm] \bruch{0}{0} [/mm] --> kürzen: Grenzwert = 1
Muss ich einen andern Ansatz wählen, um zu einem eindeutigen Ergebniss zu kommen? oder gibt es eine Regel die ich anwenden kann / muss?
vielen Danke für eure Inpus
gruess Tobias
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Probier's mal mit binomischen Formeln!
Z.b. ist
[mm]1-x = 1^{2} - \left(\wurzel{x}\right)^{2} = (1-\wurzel{x})*(1+\wurzel{x})[/mm]
Vielleicht kann man ja kürzen? 
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dann ensteh:
[mm] \bruch{(1-\wurzel{x})(1+\wurzel{x})}{(1-\wurzel{x})}
[/mm]
dann würde sich [mm] (1-\wurzel{x}) [/mm] kürzen
und stehen bleiben täte [mm] (1+\wurzel{x}). [/mm] wennich dann x=1 setze, würde der grenzwert 2 herauskommen? richtig?
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Ja, genauso macht man das
Immer wenn man so einen Bruch hat und irgendwie verdächtig viele "Minusse" dastehen und im Nenner Wurzeln sind, läuft es darauf hinaus, binomische Formeln anzuwenden.
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okey, und wir soll ich nun zb. das anpacken
lim x-->1 [mm] \bruch{x^{n}-1}{x-1}
[/mm]
wenn ich für n 2 annehme, kann ich da wieder mit den binomen arbeiten. aber wenn n grösser wird?....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 So 09.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo little_doc,
bei solchen unbestimmten Brüchen hilft der Satz von L'Hospital weiter. Zähler und Nenner getrennt einmal ableiten und dann wieder den Grenzwert einsetzen. Kommt immer noch was Unbestimmtes dabei heraus, so wiederholt man die Prozedur.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 So 09.03.2008 | | Autor: | little_doc |
Aha
L'Hospital kommt erst nächste Vorlesung an die Reihe.
Dann werde ich ich mit Augabenlösen noch ein wenig gedulden
danke jedenfalls
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Man kann das Problem auch noch anders lösen
Das Polynom [mm]x^{n} - 1[/mm] hat garantiert die Nullstelle 1. (logisch!), d.h. es existiert eine Faktorisierung
[mm]x^{n} - 1 = (x-1)*(...)[/mm]
Wenn du Polynomdivision anwendest, kommst du darauf das ein Term der Form
[mm]x^{n-1} + x^{n-2} + ... + x^{2} + x^{1} + 1[/mm]
entsteht, d.h.
[mm]x^{n} - 1 = (x-1)*(x^{n-1} + x^{n-2} + ... + x^{2} + x^{1} + 1)[/mm]
Nun versuche, den Grenzwert auszuwerten!
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