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| Aufgabe | Hallo!
Ich verstehe einfach nicht warum die Funktion [mm] \bruch{1}{x^2-4} [/mm] (x gegen -2) die Grenzwerte +- unendlich hat die Funktion [mm] \bruch{2-x^2}{2+x} [/mm](x gegen -2) jedoch nur einen rechtsseitigen Limes -unendlich, aber keinen linksseitigen Limes. Bitte könnte mir das jemand erklären?
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Meine Überlegungen:
Bei der 1. Funktion gilt doch beim rechtsseitigen Limes f(x)=[mm] \bruch{1}{(x+0)^2-4} [/mm] (x gegen -2+)wobei 0 eine sehr kleine Zahl symbolisieren soll. Insgesamt bleibt dann im Nenner f(x)=[mm] \bruch{1}{-0} [/mm] (x gegen -2+). Daraus folgt Limes rechsseitig = -unendlich.
Beim linksseitigen Limes bleibt im Nenner f(x)=[mm] \bruch{1}{+0} [/mm] (x gegen -2-). Daraus folgt Limes linksseitig = unendlich.
Schwierigkeiten bereitet mir die 2. Funktion: [mm] \bruch{2-(x+0)^2}{2+(x+0)} [/mm](x gegen -2+). Da hier der Zähler negativ ist, im Nenner aber +0 bleibt ist der Limes -unendlich.Warum ist der linksseitige Limes aber nicht + unendlich?
Vielen Dank im Voraus
Gruß
Angelika
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> Hallo!
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> Ich verstehe einfach nicht warum die Funktion
> [mm]\bruch{1}{x^2-4}[/mm] (x gegen -2) die Grenzwerte +- unendlich
> hat die Funktion [mm]\bruch{2-x^2}{2+x} [/mm](x gegen -2) jedoch nur
> einen rechtsseitigen Limes -unendlich, aber keinen
> linksseitigen Limes. Bitte könnte mir das jemand erklären?
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> Meine Überlegungen:
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> Bei der 1. Funktion gilt doch beim rechtsseitigen Limes
> f(x)=[mm] \bruch{1}{(x+0)^2-4}[/mm] (x gegen -2+)wobei 0 eine sehr
> kleine Zahl symbolisieren soll. Insgesamt bleibt dann im
> Nenner f(x)=[mm] \bruch{1}{-0}[/mm] (x gegen -2+). Daraus folgt
> Limes rechsseitig = -unendlich.
> Beim linksseitigen Limes bleibt im Nenner f(x)=[mm] \bruch{1}{+0}[/mm]
> (x gegen -2-). Daraus folgt Limes linksseitig =
> unendlich.
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> Schwierigkeiten bereitet mir die 2. Funktion:
> [mm]\bruch{2-(x+0)^2}{2+(x+0)} [/mm](x gegen -2+). Da hier der
> Zähler negativ ist, im Nenner aber +0 bleibt ist der Limes
> -unendlich.Warum ist der linksseitige Limes aber nicht +
> unendlich?
>
> Vielen Dank im Voraus
>
> Gruß
>
> Angelika
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Hallo Angelika,
1.) für beide Funktionen gilt jeweils [mm] \limes_{x\uparrow -2} [/mm] f(x) = [mm] \infty [/mm] und [mm] \limes_{x\downarrow -2} [/mm] f(x) = - [mm] \infty
[/mm]
2.) das Jonglieren mit Ausdrücken wie x+0 , x-0 scheint mir nicht sehr praktikabel...
3.) also nur zum linksseitigen Grenzwert bei der zweiten Funktion:
Ich benütze die Epsilon-Schreibweise:
Setzen wir x= [mm] (-2-\epsilon) [/mm] (mit einer winzigen positiven Zahl [mm] \epsilon) [/mm]
Dann ist
f(x) = [mm] \bruch{2-x^2}{2+x} [/mm] = [mm] \bruch{2-(-2-\epsilon)^2}{2+(-2-\epsilon)} [/mm] = [mm] \bruch{2+4\epsilon+\epsilon^2}{\epsilon} [/mm] = [mm] \bruch{2}{\epsilon}+4+\epsilon
[/mm]
Für [mm] \epsilon \downarrow [/mm] 0 strebt der erste Summand gegen [mm] +\infty [/mm] . Die anderen beiden kleinen Summanden ändern daran nichts.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Cracataua |
Hallo!
Ich selbst bin Neueinsteiger in diesem Thema, und deshalb ist alles, was ich dazu zu sagen habe, nur mit Vorsicht zu genießen, aber ich glaube, dass ich so eine vage Ahnung habe, wieso das mit den Grenzwerten so sein könnte, wie es angeblich sein soll...
Der Nenner eines Bruches darf ja nie Null werden, sonst handelt es sich um Deninitionslücken. Es gibt zwei unterschiedliche Arten von Denfinitionslücken: hebbare Lücken und Polstellen. Man kann auch das Verhalten von Polen untersuchen, aber danach hast du ja nicht gefragt.
Deine Frage bezog sich ja auf den Grenzwert der Gesamtfunktion, und für die gilt, das der Nenner nicht Null werden darf.
Der Nenner wird Null, wenn man für x Zahlen einsetzt, die in der Summe oder Differenz 0 ergeben.
Bei der ersten Funktion sind das die Werte -2 und + 2, für die zweite nur -2. Bei der ersten Funktion können sich die Werte sowohl im negativ Unendlichen der -2 nähern, also auch im positiv Undendlichen der +2 (denn -2 oder +2 darf ja nciht eingesetzt werden für x, weil der Nenner sonst Null wird).
Bei der 2. Funktion wird der Nenner dagegen nur für -2 = 0. Deshalb können sich die Werte die für x eingesetzt werden nur im Negativ Unendlichen der -2 nähern.
Hoffe es stimmt und ich könnte dir helfen. :)
Gruß,
Cracataua
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Cracataua |
Hi Angelika,
ich weiß nicht, ob du dein Problem schon lösen konntest, jedenfalls wollte ich dir eine Antwort schreiben. Leider habe ich den kleinen Fehler gemacht nicht auf deinen Eintrag sondern auf die Reaktion darauf zu antworten, obwolh ich das eingetlich gar nicht vorhatte.
Lange Rede kurzer Sinn: Meinen Senf zu deiner Frage findest du unsinnigerweise als Reaktion auf die Reaktion zu deinem Eintrag. :)
Gruß,
Cracataua
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