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| Aufgabe | 1) Berechnen Sie den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1/(1+n)+1/(n+2)+....+1/(n+n)).
Hinweis: Riemannsumme von f(x) = 1/(x+1)
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Hallo,
ich habe dann die Riemannsumme aufgestellt; die ist bei mir:
Sn = (1/((1/n)+1) + 1/((2/n)+1) + ... + 1/((n/n)+1)
ist das erstmal soweit richtig?
Und dann habe ich:
Sn [mm] \le \integral_{0}^{1}{1/(x+1) dx}
[/mm]
Und was kann man jetzt machen? In der Vorlesung kam jetzt plötzlich irgendwas mit arctan... aber es war natürlich auch eine andere Summe...
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man jetzt weiter vorgehen kann??? Wäre super!!
Viele Grüße,
Anna
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> 1) Berechnen Sie den Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> (1/(1+n)+1/(n+2)+....+1/(n+n)).
> Hinweis: Riemannsumme von f(x) = 1/(x+1)
>
> Hallo,
>
> ich habe dann die Riemannsumme aufgestellt; die ist bei
> mir:
> Sn = (1/((1/n)+1) + 1/((2/n)+1) + ... + 1/((n/n)+1)
>
> ist das erstmal soweit richtig?
ich glaube kaum, dass dich diese Summe weiterbringt...
> Und dann habe ich:
>
> Sn [mm]\le \integral_{0}^{1}{1/(x+1) dx}[/mm]
>
> Und was kann man jetzt machen? In der Vorlesung kam jetzt
> plötzlich irgendwas mit arctan... aber es war natürlich
> auch eine andere Summe...
> Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man jetzt weiter
> vorgehen kann??? Wäre super!!
> Viele Grüße,
> Anna
Hallo Anna,
es geht bestimmt darum, die Summe mittels Integralen
abzuschätzen. Sinnvoll wäre, zwei Integrale zu benützen:
eines, das die Summe (knapp) untertrifft und ein zweites,
das etwas grösser ist (analog wie Unter- und Obersumme
für das Riemannsche Integral, diesmal nimmst du aber
die Summe ins "Sandwich" zwischen zwei Integrale !)
In der Vorlesung kam wohl arctan vor in einem
Beispiel mit einem Integral [mm] \integral \bruch{1}{x^2+1}\ [/mm] dx
Hier kommst du aber auf ein anderes Integral, das dir
noch vertrauter sein sollte...
Schönen Sonntag !
Nachtrag:
ich habe mir die Summe [mm] S_4 [/mm] (für n=4), also [mm] S_4=\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}+\bruch{1}{8}
[/mm]
als Säulendiagramm im Koordinatensystem aufgezeichnet
und dann gesehen, dass gelten muss:
[mm] \integral_{4}^{8}{\bruch{1}{x+1}\ dx}
Al-Chwarizmi
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