Grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Mi 31.12.2008 | | Autor: | JMW |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} (\bruch{1}{sin x}-\bruch{1}{x})
[/mm]
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Der Grenzwert ist 0. Was ja auch einleuchtend ist, da wenn man x gegen 0 gehen lässt [mm] \infty-\infty [/mm] rauskommt, was 0 ist. Aber ich glaube man kann das nicht so einfach rechnen. Wie soll ich hier mathematisch korrekt vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Mi 31.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo JMW!
Du hast Recht: so geht das nicht. Denn " [mm] $\infty-\infty$ [/mm] " ist ein unbestimmter Ausdruck, der letztendlich jeden Wert ergeben kann.
Um diesen Grenzwert zu ermitteln, solltest Du beide Brüche gleichnamig machen und auf einem Bruch zusammenfassen.
Anschließend führt dann 2-malige Anwendung durch Herrn  de l'Hospital zum gewünschten Ziel.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Mi 31.12.2008 | | Autor: | JMW |
Ok, danke, das hilft schonmal weiter, aber nach zweimaliger Ableitung komme ich auf [mm] \bruch{sin x}{xsinx} [/mm] was [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist. Davon ist der Grenzwert jedoch nicht Null..
Hier meine einzelnen Schritte:
In einem Bruch zusammengefasst:
[mm] \bruch{x-sinx}{xsinx}
[/mm]
Erste Ableitung:
[mm] \bruch{1-cosx}{sinx-xcosx}
[/mm]
Zweite Ableitung:
[mm] \bruch{sinx}{cosx-cosx+xsinx}= \bruch{1}{x}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Mi 31.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo JMW!
> Erste Ableitung: [mm]\bruch{1-cosx}{sinx-xcosx}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Im Nenner muss es heißen: [mm] $\sin(x) [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] x*\cos(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
PS: Und hier bitte nicht von "Ableitung" reden, da dies nichts mit der Ableitung des Gesamtbruches zu tun hat!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Mi 31.12.2008 | | Autor: | JMW |
Du hast natürlich Recht! Danke!!
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