Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mi 06.10.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2+4n-1}{n^2-3n} [/mm] |
Guten Abend!!
Wie komme ich hier weiter? ich bekomme immer 5 raus, obwohl 1 rauskommen müsste:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2+4n-1}{n^2-3n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+4-\bruch{1}{n}}{n-3}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{5-\bruch{1}{n^2}}{1-\bruch{3}{n}}=5
[/mm]
Da muss ja was grundlegendes falsch sein...
Danke für den Tip!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Mi 06.10.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Berechnen Sie folgenden Grenzwert:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2+4n-1}{n^2-3n}[/mm]
> Guten Abend!!
> Wie komme ich hier weiter? ich bekomme immer 5 raus,
> obwohl 1 rauskommen müsste:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2+4n-1}{n^2-3n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+4-\bruch{1}{n}}{n-3}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{5-\bruch{1}{n^2}}{1-\bruch{3}{n}}=5[/mm]
>
Hier gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2+4n-1}{n^2-3n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+4-\bruch{1}{n}}{n-3}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+\bruch{4}{n}-\bruch{1}{n^2}}{1-\bruch{3}{n}}=1
[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mi 06.10.2010 | | Autor: | stffn |
Achso, na klar!
Also ist es anscheinend egal, ob da noch ein [mm] n^2 [/mm] steht?
Müsste [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] nicht "schneller" gegen 0 konvergieren als [mm] \bruch{1}{n}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Mi 06.10.2010 | | Autor: | MorgiJL |
hey...
ganz einfach, du musst IMMER (also bei solchen aufgaben), die höchste potenz des nenners ausklammern.
Und dann die Nullfolgen null setzten, und der rest bleibt stehn, und das ist dann dein GW.
Gruß! JAn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Mi 06.10.2010 | | Autor: | stffn |
Ja, damit bin ich eigentlich auch immer ganz gut gefahren. Bei der obigen Aufgabe war mein fehler ja auch eigentlich anderer natur.
Aber jetzt ist wieder so eine Aufgabe aufgetaucht, bei der ich nicht auf die richtige Lösung komme, denn ich bekomme, egal was ich versuche, die 0 aus dem Nenner nicht weg (also sobald ich die -3 einsetze):
[mm] \limes_{x\rightarrow-3}\bruch{x^2-x-12}{x+3}
[/mm]
Ich könnte jetzt meine Rechnungen aufschreiben, aber man kann sich wahrscheinlich vorstellen was ich versucht habe. U.a. habe ich auch L'hospital angewendet. Wie geht man hier vor?
PS: Ich weiß, man soll eigentlich ein neues Thema erstellen für neue Aufgaben, aber ich dachte mir, dass der Titel ja noch passt und das ja nun wirklich nicht so eine große Aufgabe ist, die ein extra Thema verdient hat. Ich hoffe das ist so OK...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Mi 06.10.2010 | | Autor: | algieba |
Hi stffn
> Ja, damit bin ich eigentlich auch immer ganz gut gefahren.
> Bei der obigen Aufgabe war mein fehler ja auch eigentlich
> anderer natur.
>
> Aber jetzt ist wieder so eine Aufgabe aufgetaucht, bei der
> ich nicht auf die richtige Lösung komme, denn ich bekomme,
> egal was ich versuche, die 0 aus dem Nenner nicht weg (also
> sobald ich die -3 einsetze):
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-3}\bruch{x^2-x-12}{x+3}[/mm]
>
> Ich könnte jetzt meine Rechnungen aufschreiben, aber man
> kann sich wahrscheinlich vorstellen was ich versucht habe.
> U.a. habe ich auch L'hospital angewendet. Wie geht man hier
> vor?
Um die Aufgabe zu lösen gibt es 2 Möglichkeiten! L'Hospital ist eine davon (sogar die leichtere)! Da wirst du irgendwas falsch gemacht haben. Poste doch mal deinen Rechenweg, dann können wir dir sagen, was genau falsch ist.
Du kannst aber auch die andere Möglichkeit versuchen (das ist eine gute Übung)! Das funktioniert mit der quadratischen Ergänzung. Du musst den Zähler so erweitern, dass du dort eine binomische Formel stehen hast: [mm] $(x+3)^2$
[/mm]
Dann kannst du teilweise kürzen, und am Ende bekommst du eine Geradengleichung raus. Da musst du dann einfach nur noch für x=-3 einsetzen, und schon hast du das Ergebnis. (Hoffentlich das gleiche wie mit L'Hospital  )
Viele Grüße
>
> PS: Ich weiß, man soll eigentlich ein neues Thema
> erstellen für neue Aufgaben, aber ich dachte mir, dass der
> Titel ja noch passt und das ja nun wirklich nicht so eine
> große Aufgabe ist, die ein extra Thema verdient hat. Ich
> hoffe das ist so OK...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Mi 06.10.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] x^2-x-12=(x+3)*(x-4)
[/mm]
Vielleicht hilft das.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:44 Do 07.10.2010 | | Autor: | stffn |
Super, danke.
Konnte es so ohne probleme lösen:
[mm] ...=\limes_{x\rightarrow-3}\bruch{(x+3)(x-4)}{x+3}=-7
[/mm]
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