Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:51 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Ferma |
Guten Morgen,
der Grenzwert ist 3. Die Folge:
Wurzel(x+Wurzel(x+Wurzel(x)+........)
Wie beweist man das Ergebnis? Ich vermute x=6. Doch wie beweist man das?
Gruß Ferma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Sa 17.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ferma!
> Guten Morgen,
>
> der Grenzwert ist 3. Die Folge:
> [mm]\wurzel{x+\wurzel{x+\wurzel{x+\dots}}} [/mm]
> Wie beweist man das Ergebnis? Ich vermute x=6. Doch wie
> beweist man das?
Ich nehme an, du meinst die rekursiv definierte Folge
[mm] x_1 = x[/mm], [mm]x_{n+1} = \wurzel{x+x_n} [/mm] .
Und die Voraussetzung ist, dass diese Folge konvergiert, also [mm] $\limes_{n\to\infty} x_n [/mm] =a$ existiert.
Überlege mal: was passiert, wenn du in der Gleichung [mm]x_{n+1} = \wurzel{x+x_n} [/mm] auf beiden Seiten den Limes [mm] $n\to\infty$ [/mm] bildest:
[mm] a =\limes_{n\to\infty}x_{n+1}=\limes_{n\to\infty}\wurzel{x+x_n} = \dots [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Ferma |
Wenn der Ausdruck mit den Wurzeln gleichgesetzt wird mit 3, wie groß muss dann x sein, damit die Gleichung stimmt? Wenn die linke Seite bis unendlich geführt wird, dann müsste x eigentlich kleiner sein als 1 oder?
Gruß Ferma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 So 18.09.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
aus
[mm] $$a=\lim_{n \to \infty}x_n= \lim_{n \to \infty}x_{n+1}$$
[/mm]
und
[mm] $$\lim_{n \to \infty}\sqrt{x+x_n}=\sqrt{x+a}$$
[/mm]
würde mit
[mm] $$x_{n+1}=\sqrt{x+x_n}$$
[/mm]
bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] folgen:
[mm] $$a=\sqrt{x+a}$$
[/mm]
(wegen der Stetigkeit der Wurzelfunktion!).
[mm] $\text{(}$Ganz [/mm] ausführlich: Wir schreiben abkürzend [mm] $\lim:=\lim_{n \to \infty}$:
[/mm]
[mm] $$a=\lim x_{n+1}=\lim \sqrt{x+x_n}=\sqrt{\lim(x+x_n)}=\sqrt{(\lim x)+\lim x_n}=\sqrt{x+\lim x_n}=\sqrt{x+a}\,.\text{)}$$
[/mm]
Daraus folgte (quadrieren)
[mm] $$a^2-a-x=0$$
[/mm]
und damit wegen [mm] $a=3\,$ [/mm] in der Tat:
[mm] $$x=x_1=3^2-3=6\,.$$
[/mm]
Was hier aber vorausgesetzt wurde, und was noch zu beweisen wäre, ist, dass die von Rainer angegebene Folge überhaupt konvergiert!
Gruß,
Marcel
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