Grenzwert Einführung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:40 Do 25.01.2007 | | Autor: | noxia |
| Aufgabe | [mm] f(x)=x^2
[/mm]
x1=2; x2=2+h
[mm] \bruch{f(x2)-f(x1)}{x2-x1}
[/mm]
[mm] =\bruch{f(2+h)-f(2)}{2+h-2}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2+h)^2-2^2}{h}
[/mm]
=4+h [mm] \to [/mm] 4, wenn h immer kleiner wird. |
Hallo!
Das hat mein Mathelehrer als Einführung der Grenzwerte an die Tafel geschrieben. Ich verstehe es aber leider nicht.
Also, x1 und (x1+h) sind doch zwei Punkte auf einer Gerade, oder? Und mit y1-y2/x2-x1 rechnet man ja die Steigung aus. Deshalb will man hier ausrechnen, wie sich die Steigung ändert, wenn sich der Abstand der zwei Punkte ändert. Hab ich das richtig verstanden? Aber am Ende steht da was von wegen 4+h [mm] \to [/mm] 4, was ja bedeutet, dass es sich um irgendeine x-Koordinate handelt und nicht um die Steigung. Wieso benutzt man dann die Steigungsformel?? Sowieso würde die Steigung ja nicht [mm] \to [/mm] 4, sondern [mm] \to [/mm] undefiniert, weil wenn h=0 wäre, wären ja x1 und x2 gleich. Ihr merkt schon, ich verstehe es nicht.
Wenn man also nicht die Steigung ausrechnet, rechnet man dann den Grenzwert von [mm] f(x)=x^2 [/mm] für x [mm] \to [/mm] 2 aus? Wieso benutzt man dann die Steigungsformel??
Bitte helft mir, ich bin verzweifelt!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 Do 25.01.2007 | | Autor: | thoma2 |
zugegeben, das beispiel ist etwas unglücklich
damit hast du die steigung im punkt 2 berechnet.
und der ist vier.
{
kannst du schon ableiten?
[mm] f(x)=x^{2}
[/mm]
f´(x)=2x
also f´(x) gibt die steigung an. wen man hier für x zwei einsetzt kommt 4 raus.
dass es hier zu selben ergebnis kommt, wie wen du bei f(x) zwei einsätzt, ist zufall und meiner meinung nach hier etwas unglücklich.
}
wen du das in der klammer nicht verstehst, mach dir keine sorgen. wird dir dann in den nechsten zwei oder drei wochen klar.
rechne die aufgabe mal für [mm] x_{1}=3 [/mm] und [mm] x_{2}=3+h
[/mm]
> [mm]f(x)=x^2[/mm]
>
> x1=2; x2=2+h
>
> [mm]\bruch{f(x2)-f(x1)}{x2-x1}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{f(2+h)-f(2)}{2+h-2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(2+h)^2-2^2}{h}[/mm]
bis hier, denk ich, ist dir klar?
[mm]=\bruch{2^2+4h+h^2-2^2}{h}[/mm]
[mm]=\bruch{4h+h^2}{h}[/mm]
>
> =4+h [mm]\to[/mm] 4, wenn h immer kleiner wird.
denk mal, so dürften die rechnung nachvolziebar sein.
noch mal kurz erklärt:
es ist zwar schwer vorzustellen, aber jeder punkt besteht aus noch kleineren punkte und diese bilden wieder eine grade.
bei 5x+2 ist die steigung in jedem punkt gleich.
bei [mm] x^2 [/mm] änderd sie sich jedoch in jedem punkt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Do 25.01.2007 | | Autor: | noxia |
Danke für deine Antwort thoma2! =)
Also rechnet man wirklich die Steigung aus. Ableiten kann ich noch nicht.
Wenn ich jetzt dein Beispiel nehme, also:
[mm] f(x)=x^2
[/mm]
x1=3; x2=3+h
ist [mm] f(3+h)=(3+h)^2 =9+6h+h^2 \to9, [/mm] wenn [mm] h\to [/mm] 0. Also, [mm] \limes_{x\rightarrow\ 3}x^2=9 [/mm] Das heißt je näher x2 der Stelle 3 kommt, also je kleiner h wird, desto näher ist der Funktionswert von x2 an 9. Das versteh ich schon.
Ich verstehe jetzt auch, dass ein Punkt eine Steigung haben kann, weil du ja meintest, dass ein Punkt aus noch viel mehr Punkten besteht.
Aber was ich immer noch nicht verstehe, ist, wie eine Steigung einen Grenzwert haben kann.
[mm] \bruch{f(3+h)-f(3)}{3+h-3}
[/mm]
= [mm] \bruch{9+6h+h^2-9}{h}
[/mm]
= 6+h
6+h ist also die Steigung. Aber wieso ist dann [mm] 6+h\to [/mm] 6, wenn [mm] h\to [/mm] 0 ist?
Eine Steigung ist doch keine Stelle, also können sich Punkte ihr ja auch nicht nähern. Ich dachte, der Grenzwert zeigt an, wie sich Punkte auf einer Geraden, die der x-Koordinate eines Punktes auf der Geraden immer näher kommen, der y-Koordinate des Punktes gegenüber verhalten. Aber langsam glaube ich, ich hab da irgend was falsch verstanden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Do 25.01.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
in Deinen Überlegungen ist schon einiges richtiges dabei, aber ein paar Sachen müssen wir noch geraderücken...
[mm] x_1 [/mm] und [mm] x_1+h [/mm] sind erstmal keine Punkte auf einer Geraden, sondern nur irgendwelche x-Werte. Zu diesen beiden x-Werten suchen wir uns nun die Punkte auf dem Graphen der Funktion f (im Beispiel also auf einer Parabel, da [mm] f(x)=x^2).
[/mm]
Durch diese beiden Punkte legt man nun eine Gerade und für diese Gerade berechnet man (wie Du ja schon richtig bemerkt hast) die Steigung.
Nun läßt man den zweiten Punkt langsam den Graphen entlang nach links wandern und stellt fest, dass die Steigungen der jeweiligen Geraden sich immer näher an einen bestimmten Wert annähern - eben den Grenzwert.
Probier es doch einfach einmal aus:
Du zeichnest eine Parabel und fixierst ein Lineal oder ein Geodreieck an irgendeinem Punkt des Graphen (z.B. an der Stelle [mm] x_1=2). [/mm] Dann setzt Du einen Stift auf einen andern Punkt der Parabel und legst das Lineal so an, als wolltest Du eine Gerade durch beide Punkte zeichnen (wenn Du willst kannst Du das ja auch tun). Jetzt fährst Du mit dem Stift langsam die Parabel entlang (in Richtung auf [mm] x_1 [/mm] zu) und achtest darauf, dass das Lineal immer fest am Stift anliegt. Dann siehst Du ja, wie sich die Steigungder Verbindungsgeraden verändert, wenn sich der zweite Punkt auf den ersten zubewegt. Wie bleibt das Lineal am Ende liegen, wenn der Stift den Punkt erreicht hat, wo Du das Lineal fixiert hast? Das wäre dann der Grenzwert der Steigung.
Probiers einfach mal aus!
Gruß
piet
P.S.: Mit der Feststellung, dass ein Punkt eine Steigung hat bin ich nicht recht glücklich, ebensowenig mit der Aussage, dass ein Punkt aus vielen Punkten besteht - der Grenzwert, der sich ergibt ist ja keine Eigenschaft des Punktes sondern eine des Graphen in der Nähe des Punktes. Konsequenterweise nennt man den sich ergebenden Grenzwert dann auch nicht "Steigung des Punktes" sondern "Steigung des Graphen in diesem Punkt".
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mo 29.01.2007 | | Autor: | noxia |
Hallo Piet!
Vielen Dank für deine Antwort! Ich hab sie erst jetzt gelesen, weil die letzte Mathestunde ausgefallen ist. Deine Übung hab ich gemacht und am Ende liegt das Lineal parallel zur x Achse und schneidet Punkt 4 auf der y-Achse. Also ist der Grenzwert 4, was ja auch bei meinem Lehrer rauskam.
Vom Prinzip her hab ich es dank dir jetzt also verstanden. =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Di 30.01.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Hallo Piet!
> Vielen Dank für deine Antwort! Ich hab sie erst jetzt
> gelesen, weil die letzte Mathestunde ausgefallen ist. Deine
> Übung hab ich gemacht und am Ende liegt das Lineal parallel
> zur x Achse und schneidet Punkt 4 auf der y-Achse. Also ist
> der Grenzwert 4, was ja auch bei meinem Lehrer rauskam.
> Vom Prinzip her hab ich es dank dir jetzt also verstanden.
> =)
...parallel zur x-Achse sollte es aber eigentlich nicht sein...:-(
Und dass in diesem Fall der Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse auch 4 ist ist ein unglücklicher Zufall.
Zeichne dir bei der ganzen Lineal-Dreherei auch mal ein paar Geraden ein. Wenn der zweite Punkt noch relativ weit rechts vom ersten liegt sind die Geraden noch ziemlich steil, werden dann aber allmöhlich flacher. Allerdings sollte die Steigung kurz bevor die beiden Punkte zusammenfallen irgendwo in der Nähe von 4 liegen - Man beachte, dass es um den Grenzwert der Steigung geht, einen x- oder y-Wert 4 wird man da nicht unbedingt finden!
|
|
|
|
