Grenzwert Folge > L'Hospital < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 Mi 29.04.2015 | | Autor: | brudi |
| Aufgabe 1 | | Die Folge ${({ a [mm] }_{ n })}_{n\in \IN}$ [/mm] mit [mm] ${a}_{n} [/mm] = [mm] \frac [/mm] { [mm] \ln [/mm] { (n)} }{ [mm] n^2 [/mm] }$ konvergiert gegen 0. Wahr oder falsch? |
| Aufgabe 2 | | Die Folge ${({ a [mm] }_{ n })}_{n\in \IN}$ [/mm] mit [mm] ${a}_{n} [/mm] = [mm] \frac [/mm] { [mm] \sin{( \ln { (n)})} [/mm] }{ [mm] \ln [/mm] { (n)} }$ konvergiert gegen 0. Wahr oder falsch? |
Hallo Zusammen,
wir hatten in der Vorlesung den Satz von L'Hospital noch nicht, doch ich sehe grade keine andere Lösung:
zu Aufgabe 1:
Die Aussage ist wahr!
Da $ [mm] \lim [/mm] _{ [mm] n\rightarrow \infty [/mm] }{ [mm] \ln [/mm] {(n) } } = [mm] \infty [/mm] $ und [mm] $\lim [/mm] _{ [mm] n\rightarrow \infty [/mm] }{ [mm] n^2 [/mm] } = [mm] \infty [/mm] $ kann der Satz von L'Hospital angewendet werden.
Somit folgt
[mm] $\lim [/mm] _{ [mm] n\rightarrow \infty [/mm] }{ [mm] \frac [/mm] { [mm] (\ln [/mm] { (n) } [mm] )\prime [/mm] }{ [mm] (n^{ 2 })\prime [/mm] } } $ $= [mm] \lim [/mm] _{ [mm] n\rightarrow \infty [/mm] }{ [mm] \frac{ \frac{1}{n} }{ 2n }}$ [/mm] $= [mm] \lim [/mm] _{ [mm] n\rightarrow \infty [/mm] }{ [mm] \frac{ 1 }{ 3n }}$ [/mm] $= 0$
Passt das so?
zu Aufgabe 2:
Hier weiß ich leider nicht, wie ich [mm] $\sin{( \ln { (n)})}$ [/mm] ableiten soll. Habt ihr einen Tipp?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Mi 29.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Die Folge [mm]{({ a }_{ n })}_{n\in \IN}[/mm] mit [mm]{a}_{n} = \frac { \ln { (n)} }{ n^2 }[/mm]
> konvergiert gegen 0. Wahr oder falsch?
> Die Folge [mm]{({ a }_{ n })}_{n\in \IN}[/mm] mit [mm]{a}_{n} = \frac { \sin{( \ln { (n)})} }{ \ln { (n)} }[/mm]
> konvergiert gegen 0. Wahr oder falsch?
> Hallo Zusammen,
>
> wir hatten in der Vorlesung den Satz von L'Hospital noch
> nicht, doch ich sehe grade keine andere Lösung:
Dann darfst Du diesen Satz auch nicht benutzen !
>
> zu Aufgabe 1:
>
> Die Aussage ist wahr!
>
> Da [mm]\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \ln {(n) } } = \infty[/mm]
> und [mm]\lim _{ n\rightarrow \infty }{ n^2 } = \infty[/mm] kann der
> Satz von L'Hospital angewendet werden.
>
> Somit folgt
> [mm]\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { (\ln { (n) } )\prime }{ (n^{ 2 })\prime } }[/mm]
> [mm]= \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac{ \frac{1}{n} }{ 2n }}[/mm]
> [mm]= \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac{ 1 }{ 3n }}[/mm] [mm]= 0[/mm]
>
> Passt das so?
Nein.
1. Du darfst L'Hospital nicht benutzen.
2. Das Ableiten von Folgen ist völlig danaben !
Mit L'Hospital kann man das so machen:
für x>0 setze f(x):=ln(x) und [mm] g(x):=x^2. [/mm] Dann:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}= \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\lim [/mm] _{ [mm] x\rightarrow \infty [/mm] }{ [mm] \frac{ \frac{1}{x} }{ 2x }}=0.
[/mm]
Ohne L'Hospital:
überlege Dir, dass [mm] \ln(n) \le [/mm] n für jedes n ist.
Damit hast Du:
0 [mm] \le a_n \le \bruch{1}{n} [/mm] für jedes n.
>
> zu Aufgabe 2:
>
> Hier weiß ich leider nicht, wie ich [mm]\sin{( \ln { (n)})}[/mm]
> ableiten soll. Habt ihr einen Tipp?
Für x>0 bekommst Du die Ableitung von [mm]\sin{( \ln { (x)})}[/mm] mit der Kettenregel.
Zur Folge: es ist
$ [mm] |{a}_{n}| [/mm] = [mm] |\frac [/mm] { [mm] \sin{( \ln { (n)})} [/mm] }{ [mm] \ln [/mm] { (n)} }| [mm] \le \frac [/mm] { 1 }{ [mm] \ln [/mm] { (n)} }$ für n [mm] \ge [/mm] 2.
FRED
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Mi 29.04.2015 | | Autor: | brudi |
> > zu Aufgabe 1:
[...]
> Ohne L'Hospital:
>
> überlege Dir, dass [mm]\ln(n) \le[/mm] n für jedes n ist.
>
> Damit hast Du:
>
> 0 [mm]\le a_n \le \bruch{1}{n}[/mm] für jedes n.
>
> >
> > zu Aufgabe 2:
> >
> > Hier weiß ich leider nicht, wie ich [mm]\sin{( \ln { (n)})}[/mm]
> > ableiten soll. Habt ihr einen Tipp?
>
>
> Für x>0 bekommst Du die Ableitung von [mm]\sin{( \ln { (x)})}[/mm]
> mit der Kettenregel.
>
> Zur Folge: es ist
>
> [mm]|{a}_{n}| = |\frac { \sin{( \ln { (n)})} }{ \ln { (n)} }| \le \frac { 1 }{ \ln { (n)} }[/mm]
> für n [mm]\ge[/mm] 2.
>
Hallo Fred,
vielen Dank für deine Antwort!
Deine Schlussfolgerungen leuchten mir ein. Aber ich habe jetzt seit einer Stunde überlegt und im Skript gelesen und leider ist mir nicht klar, wie ich in der ersten Aufgabe nun korrekt argumentiere, dass aus [mm]0 \le a_n \le \bruch{1}{n}[/mm] der Grenzwert 0 folgt. Auch bei der zweiten Aufgabe ist mir der nächste Schritt nicht klar. Könntest du mir zeigen, wie das Ganze funktioniert? Ich muss noch sehr viele Aufgaben rechnen, daher würde mir ein Beispiel sehr helfen! 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Mi 29.04.2015 | | Autor: | fred97 |
Der Satz von Sandy Sandwich lautet so:
Sind [mm] (a_n), (b_n) [/mm] und [mm] (c_n) [/mm] reelle Folgen, sind [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (c_n) [/mm] konvergent zum gleichen Grenzwert a und gilt
[mm] a_n \le b_n \le c_n [/mm] für fast alle n,
so konvergiert auch [mm] (b_n) [/mm] gegen a.
Noch ein Satz, der stammt von Hubert Betrubert:
Für eine relle Folge [mm] (a_n) [/mm] gilt:
[mm] (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge [mm] \gdw (|a_n|) [/mm] ist eine Nullfolge.
Klingelts ?
FRED, der Hausierer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mi 29.04.2015 | | Autor: | brudi |
> Der Satz von Sandy Sandwich lautet so:
>
> Sind [mm](a_n), (b_n)[/mm] und [mm](c_n)[/mm] reelle Folgen, sind [mm](a_n)[/mm] und
> [mm](c_n)[/mm] konvergent zum gleichen Grenzwert a und gilt
>
> [mm]a_n \le b_n \le c_n[/mm] für fast alle n,
>
> so konvergiert auch [mm](b_n)[/mm] gegen a.
>
>
>
> Noch ein Satz, der stammt von Hubert Betrubert:
>
> Für eine relle Folge [mm](a_n)[/mm] gilt:
>
> [mm](a_n)[/mm] ist eine Nullfolge [mm]\gdw (|a_n|)[/mm] ist eine Nullfolge.
>
>
> Klingelts ?
>
Ein bisschen!
Also kann ich bei Aufgabe 1 argumentieren, dass [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln { (n)} }{ n^2 }=0$ [/mm] ist, da [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\frac [/mm] { 1 }{ n }=0$ und der [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}0= [/mm] 0$ ist?
Natürlich zusammen mit der obigen Abschätzung und dem Verweis auf den Sandwichsatz.
Und kann ich dass dann analog für Aufgabe 2 verwenden? [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{1 }{ \ln { (n)} } [/mm] = 0$ müsste ja stimmen und somit dann auch [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}|\frac [/mm] { [mm] \sin{( \ln { (n)})} [/mm] }{ [mm] \ln [/mm] { (n)} }| = 0$?
Gruß,
Basti
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Mi 29.04.2015 | | Autor: | DieAcht |
Passt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Mi 29.04.2015 | | Autor: | brudi |
Dankesehr! 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Mi 29.04.2015 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Die Folge [mm]{({ a }_{ n })}_{n\in \IN}[/mm] mit [mm]{a}_{n} = \frac { \sin{( \ln { (n)})} }{ \ln { (n)} }[/mm]
> konvergiert gegen 0. Wahr oder falsch?
> zu Aufgabe 2:
>
> Hier weiß ich leider nicht, wie ich [mm]\sin{( \ln { (n)})}[/mm]
> ableiten soll. Habt ihr einen Tipp?
Also selbst wenn du de L´Hospital verwenden dürftest, was du hier offensichtlich gern tun würdest, sind doch bei der vorliegenden Folge überhaupt nicht die Voraussetzungen gegeben. Der Grenzwert ist weder ein unbestimmter Ausdruck vom Typ [mm] \bruch{0}{0} [/mm] noch [mm] \bruch{\infty}{\infty}.
[/mm]
Viele Grüße
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