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Forum "Funktionalanalysis" - Grenzwert (Links/Rechtsseitig)
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Grenzwert (Links/Rechtsseitig): Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:07 So 15.01.2012
Autor: Ciotic

Aufgabe
Die Funktion $ f : [mm] \IR $\$ \left\{ -1,3 \right\} [/mm] $ -> [mm] $\IR [/mm] $ sei definiert durch $ f(x)= [mm] \bruch {x^2-10}{x^2-2x-3}. [/mm] $

Bestimmen Sie die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an den Polstellen sowie die Grenzwerte für $x$ -> [mm] $-\infty$ [/mm] und $x$ -> [mm] $\infty$ [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich habe mal wieder ein Problem.

Bei der Aufgaben-Stellung weiß ich zwar, was mit dem links-, und rechtsseitigen Grenzwert gemeint ist, nicht aber, wie man diese berechnet. Das zwei Polstellen die Definitionslücken -1 und 3 sind, weiß ich.

Kann mir jemand einen Ansatz nennen?

Danke !

        
Bezug
Grenzwert (Links/Rechtsseitig): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:16 So 15.01.2012
Autor: MathePower

Hallo Ciotic,

> Die Funktion [mm]f : \IR [/mm]\[mm] \left\{ -1,3 \right\}[/mm] -> [mm]\IR[/mm] sei
> definiert durch [mm]f(x)= \bruch {x^2-10}{x^2-2x-3}.[/mm]
>  
> Bestimmen Sie die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an
> den Polstellen sowie die Grenzwerte für [mm]x[/mm] -> [mm]-\infty[/mm] und [mm]x[/mm]
> -> [mm]\infty[/mm]
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Ich habe mal wieder ein Problem.
>
> Bei der Aufgaben-Stellung weiß ich zwar, was mit dem
> links-, und rechtsseitigen Grenzwert gemeint ist, nicht
> aber, wie man diese berechnet. Das zwei Polstellen die
> Definitionslücken -1 und 3 sind, weiß ich.
>
> Kann mir jemand einen Ansatz nennen?
>  


Zerlege den Nenner in Linearfaktoren:

[mm]x^{2}-2*x-3=\left(x+1\right)*\left(x-3\right)[/mm]


> Danke !


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Grenzwert (Links/Rechtsseitig): Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Mo 16.01.2012
Autor: Ciotic

Danke und wie hilft mir das jetzt weiter, um die links/rechtsseitigen Grenzwerte zu bestimmen?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert (Links/Rechtsseitig): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:33 Di 17.01.2012
Autor: Diophant

Hallo Ciotic,

grob gespriochen sollst du zunächst zeigen, dass es sich bei den Definitionslücken tatsächlich um Polstellen handelt. Und wenn du noch weißt, was eine Polstelle ist, so dürfte dir der Sinn meines folgenden Tipps sofort klar sein:

Es sind hieruneigentliche Grenzwerte gemeint.

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert (Links/Rechtsseitig): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 Mi 18.01.2012
Autor: Ciotic

Dank soweit!

Also eine Polstelle ist ein nicht definierter Punkt, um den die Funktion unendliche Mögliche Werte annehmen kann.

Folglich Sind die oben genannten Definitionslücken (-1/3) die uneigentlichen Grenzwerte.

Ist das so richtig? Wie ließe sich das mathematisch beweisen/begründen?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert (Links/Rechtsseitig): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:42 Do 19.01.2012
Autor: Diophant

Hallo,

man muss ja nicht immer um den heißen Brei herumreden: Polöstellen sind Stellen, an denen eine Funktion gegen [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] strebt, wobei sie dies durchaus von beiden Seitzen her unterschiedlich tun kann. Man kann auch kruz und knapp sagen: Polstellen sind Punkte, an denen die Funktion bestimmt divergent ist. Aber egal, wie man es nun nennt: das passiert nur, wenn an den Definitionslücken (nach Kürzung aller hebbaren Definitionslücken) im Zähler ein Wert ungleich 0 steht, da die bestimmte Divergenz ja genau durch die Divion durch 0 'ausgelöst' wird.

Das prüfst du an deinem Beispiel leicht nach. ZUsätzlich jedoch musst du für jede Polstelle untersuchen, welches Vorzeichen f in einer unmittelbaren Umgebung links bzw. rechts von der Polstelle aufweist. Denn dieses Vorzeichen sagt dir, ob f gegen plus oder minus unendlich strebt.

Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Grenzwert (Links/Rechtsseitig): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:03 Mi 15.02.2012
Autor: wke

hallo,
du bist doch student in braunschweig...
schreib mir bitte mal eine mail, ich rechne auch gerade die aufgaben.
wke

Bezug
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