Grenzwert Wurzel von Log < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Di 09.06.2009 | | Autor: | pinclady |
| Aufgabe | Zeigen Sie, ob L(x) eine langsam variierende Funktion ist :
[mm] L(x)=exp((Ln(x))^b) [/mm] b [mm] \in [/mm] (0,1) |
Hallo allerseits,
ich habe rausgefunden, dass L(x) eine langsam variierende Fkt. ist, d. h. man muss zeigen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}L(kx)/L(x)=1
[/mm]
Ich krieg es einfach nicht raus, hab jetz mit L Hospital versucht werde aber nich die Exp Funktionen los und somit immer einen unbestimmten Ausdruck.
Hat vielleicht jemand von euch eine Idee
Danke
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Hallo pinclady,
Du hast Recht, de l'Hospital hilft nicht.
Du musst für beliebiges k>0 zeigen, dass
[mm] \limes_{\red{x}\rightarrow\infty}\bruch{L(kx)}{L(x)}=1.
[/mm]
Eingesetzt ergibt sich:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\ln^b{(kx)}}}{e^{\ln^b{(x)}}}=\limes_{x\rightarrow\infty}e^{\ln^b{(kx)}-\ln^b{(x)}}=e^{\limes_{x\rightarrow\infty}\ln^b{(kx)}-\ln^b{(x)}}=1
[/mm]
Nun wirst Du das e leicht los: beide Seiten logarithmieren.
Es ist also zu zeigen
[mm] \Rightarrow\quad \limes_{x\rightarrow\infty}\ln^b{(kx)}-\ln^b{(x)}=\limes_{x\rightarrow\infty}(\ln{k}+ln{x})^b-(\ln{x})^b=0\ \cdots?
[/mm]
Und, stimmt das für alle k>0 ?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Di 09.06.2009 | | Autor: | pinclady |
Viele Dank, reverend
die Rechnung ist mir klar, hab selbst schon was ähnliches versucht,
aber ehrlich gesagt sehe ich noch nicht warum die Gleichung gleich Null richtig ist?
Grüße
>
> [mm]\Rightarrow\quad \limes_{x\rightarrow\infty}\ln^b{(kx)}-\ln^b{(x)}=\limes_{x\rightarrow\infty}(\ln{k}+ln{x})^b-(\ln{x})^b=0\ \cdots?[/mm]
>
>
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Hallo pinclady,
> Viele Dank, reverend
>
> die Rechnung ist mir klar, hab selbst schon was ähnliches
> versucht,
>
>
> aber ehrlich gesagt sehe ich noch nicht warum die
> Gleichung gleich Null richtig ist?
Das hat reverend doch geschrieben:
Er hat auf die Gleichung davor, also auf beide Seiten der Gleichung den [mm] $\ln$ [/mm] angewendet.
Damit hat sich linkerhand das $e$ verabschiedet, rechterhand ergibt sich [mm] $\ln(1)=0$
[/mm]
>
> Grüße
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Di 09.06.2009 | | Autor: | pinclady |
Wie ich auf die Gleichung komme, ist mir klar.
Aber es war ja auch zu zeigen. D. h. ich muss jetzt zeigen, dass diese Gleichung war ist, dann gilt der Beweis.
Aber der Grenzwert von dem logarithmus ist doch unendlich, da x-> [mm] \infty
[/mm]
Dann habe ich sowas wie [mm] \infty-\infty [/mm] und das kann ja alles heißen, oder???
LG
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Hallo nochmal,
dann habe ich deinen post missverstanden - ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
reverend schreibt gerade oben eine weitere Antwort, warten wir die mal ab ...
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
hier die Wiedergutmachung, also ein Tipp, mit dem Du schnell zum Ende kommst.
[mm] \ln{k}+\ln{x}=\ln{x}\left(1+\bruch{\ln{k}}{\ln{x}}\right)
[/mm]
Ok, natürlich nicht für x=1, aber wir wollen ja gerade [mm] x\rightarrow +\infty [/mm] untersuchen.
Bedenke, dass [mm] \ln{k} [/mm] hier eine Konstante ist. Man könnte stattdessen [mm] \kappa [/mm] schreiben, oder was auch immer...
Mit der Umformung von oben kommst Du schließlich zu
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left((\ln{x})^b \cdot \left(\left(1+\bruch{\ln{k}}{\ln{x}}\right)^b-1\right)\right)=?
[/mm]
...und das sieht doch schon manierlicher aus. Denn für das Problem [mm] \infty \cdot{0} [/mm] hast Du doch sicher eine Lösungsmethode, oder?
Jetzt aber...
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Di 09.06.2009 | | Autor: | pinclady |
Hallo reverend,
vielen lieben Dank für deine Bemühungen.
Hab mir auch was überlegt:
Also es war zu zeigen: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(ln(kx))^\beta-ln(x)^\beta)=0
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} (ln(kx))^\beta= \limes_{n\rightarrow\infty} ln(x)^\beta
[/mm]
[mm] \gdw ln(\limes_{n\rightarrow\infty} kx)^\beta= ln(\limes_{n\rightarrow\infty} x)^\beta
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] kx= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] x
und das ist für k>0 eine wahre Aussage. Stimmt?
Dann wäre es doch für alle [mm] \beta [/mm] richtig oder muss da irgend wo eingehen, dass [mm] \beta \in [/mm] (0,1) ?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Di 09.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo reverend,
>
>
> vielen lieben Dank für deine Bemühungen.
> Hab mir auch was überlegt:
>
> Also es war zu zeigen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(ln(kx))^\beta-ln(x)^\beta)=0[/mm]
>
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty} (ln(kx))^\beta= \limes_{n\rightarrow\infty} ln(x)^\beta[/mm]
>
Du kannst den Limes und den LN nicht einfach vertauschen.
Fang mal wie folgt an, und nutze die  Logarithmusgesetze
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\ln(kx))^{\beta}-\ln(x)^{\beta})
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}(\ln(kx))^{\beta}-\limes_{x\rightarrow\infty}(\ln(x)^{\beta})
[/mm]
=
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Di 09.06.2009 | | Autor: | pinclady |
Hallo Marius,
logarithmus ist doch eine stetige Funktion und bei stetigen Funktionen darf man das.
LG
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Hallo nochmal,
nein, diese Regel gibt es so nicht. (...aber mit bestimmten Einschränkungen natürlich schon!)
Gegenbeispiel:
Ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(n^2-n)=0 [/mm] ?
Wenn Deine Rechnung stimmen würde, dann müsste ich ja auch hier so vorgehen dürfen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n^2=\limes_{n\rightarrow\infty}n
[/mm]
...und da das stimmt, müsste die ursprüngliche Behauptung ja auch stimmen. Das tut sie aber leider nicht, der Grenzwert geht ja gegen [mm] +\infty.
[/mm]
Etwas subtiler musst Du also doch vorgehen.
Zu [mm] \infty*0 [/mm] will ich noch bemerken, dass Du den guten alten de l'Hospital doch vorhin schon einmal bemüht hast. Das sollte hier doch auch gehen... Schreib den fraglichen Grenzwert doch mal um zu [mm] \bruch{1}{0}*0 [/mm] oder zu [mm] \infty*\bruch{1}{\infty}, [/mm] dann sieht die Welt gleich viel handhabbarer aus.
Liebe Grüße
reverend
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Hallo pinclady,
das ist ja gerade zu zeigen, ob der Grenzwert nun gegen Null läuft oder nicht.
Ich "sehe" wohl, dass er das nicht tut (außer im trivialen Fall k=1), sondern für 0<k<1 gegen [mm] -\infty [/mm] und für k>1 gegen [mm] +\infty [/mm] geht. edit: tja, falsch gesehen. Sorry. In beiden Fällen geht der Grenzwert gegen Null, wenn auch nur quälend langsam.
Vielleicht fällt Dir das ja leichter zu zeigen? Die jetzt vorliegende Form ist doch nicht mehr so schwierig wie die ursprüngliche, auch wenn da noch ein paar Umformungsnüsse zu knacken sind.
Es geht z.B. über verallgemeinerte Binomialkoeffizienten, aber vielleicht findest Du ja noch einen einfacheren Ansatz...
Auch dieser Tipp erweist sich leider als wertlos.
Viel Erfolg erstmal,
reverend
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