Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | [mm]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{n^n}{2^{2^n}}[/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{n^{\log{n}}}{2^n}[/mm] |
f(n) = O(g(n)) wenn f(n)/g(n) gegen 0 strebt. In beiden Beispielen ist dies der Fall. Woran ich scheitere ist der Beweis, also die eigentliche Berechnung des Grenzwertes. Ich habe die Transitivität der Landau-Notation angwendet, um eine Handvoll Funktionen nach ihrer Größenordnung zu reihen, allerdings reichen meine bescheidenen Fähigkeiten hier nicht mehr aus, ich weiß nicht, wie ich vorgehen muss, wenn Potenzzahlen im Zähler und Nenner stehen, es ist also ein ganz grundlegendes Problem. de l'Hospital hat mich nicht weiter gebracht, da die Ausdrücke von Ableitung zu Ableitung umfangreicher werden. Was muss ich tun, um diese Ausdrücke aufzulösen, sodass als Ergebnis null rauskommt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 So 11.04.2010 | | Autor: | abakus |
> [mm]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{n^n}{2^{2^n}}[/mm]
>
> [mm]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{n^{\log{n}}}{2^n}[/mm]
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> f(n) = O(g(n)) wenn f(n)/g(n) gegen 0 strebt. In beiden
> Beispielen ist dies der Fall. Woran ich scheitere ist der
> Beweis, also die eigentliche Berechnung des Grenzwertes.
> Ich habe die Transitivität der Landau-Notation angwendet,
> um eine Handvoll Funktionen nach ihrer Größenordnung zu
> reihen, allerdings reichen meine bescheidenen Fähigkeiten
> hier nicht mehr aus, ich weiß nicht, wie ich vorgehen
> muss, wenn Potenzzahlen im Zähler und Nenner stehen, es
> ist also ein ganz grundlegendes Problem. de l'Hospital hat
> mich nicht weiter gebracht, da die Ausdrücke von Ableitung
> zu Ableitung umfangreicher werden. Was muss ich tun, um
> diese Ausdrücke aufzulösen, sodass als Ergebnis null
> rauskommt?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Danke im Voraus!
Hallo,
den ersten Ausdruck würde ich zunächst logarithmieren und zeigen, dann den ln dieses Ausdrucke gegen [mm] -\infty [/mm] geht.
Man erhält mit den Logarithmengesetzen
[mm] n*ln(n)-2^n*ln(2).
[/mm]
Da für die ln-Funktion die Abschätzung ln(x)<x-1 gilt (y=x-1 ist eine "von oben" an die ln-Funktion angelegte Tangente)
gilt
[mm] n*ln(n)-2^n*ln(2)
Verglichen mit [mm] 2^n [/mm] wächst n(n-1) nur im Schneckentempo.
Gruß Abakus
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Danke vielmals!
Ich möchte jetzt ähnlichen Gedanken auch beim zweiten Beispiel anwenden. Ich komme auf: [mm]\exp{(\log^2{n} - n\cdot\log{2})}[/mm]
[mm]\log^2{n}[/mm] ist bei n gegen unendlich immer kleiner als n. Ist das trivial? (Das hätte ich zumindest so angenommen.) Denn wenn ich hier [mm](n-1)^2[/mm] einsetze, dann ist dieser Ausdruck auf alle Fälle größer als n.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Mi 14.04.2010 | | Autor: | cycore |
Hallo,
das geht sicherlich auch so, aber es ergibt sich auch aus dem Ergebnis des 1. Limes...
Sicher ist dir klar, dass du folgendes machen darfst:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{f(n)}=\limes_{{2^n}\rightarrow\infty}{f(2^n)}=\limes_{n\rightarrow\infty}{f(2^n)} [/mm] (der zwischenschritt ist natürlich eigentlich überflüssig und so nicht unbedingt sauber, aber es sollte die situation hinreichend erklären)
wenn du das dann anwendest wirst du erkennen, dass es quasi die gleichen reihen sind...am einfachsten ist es natülich, wenn du mit log auch noch den 2-er log meinst...dann bekommst du da noch nicht mal nen "lästigen" faktor dazu ;)
hoffe das hilft dir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:35 Mi 14.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi,
Ich denke (d.h. bin mir nicht sicher!) man kann es auch so begründen:
Da die E-Funktion [mm] (e^{x}) [/mm] schneller wächst als jede Potenzfunktion der Form [mm] x^{a} [/mm] (folgt aus der Reihenentwicklung der E-Funktion), muss die Umkehrfunktion der E-Funktion bzw. einer anderen Exponentialfunktion langsamer als jede Potenzfunktion wachsen.
Wenn diese Begründung schwachsinn ist, dann soll das jemand sagen.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Fr 16.04.2010 | | Autor: | cycore |
Hi,
also an der begründung ist irgendwo was dran, aber so wie sie da steht reicht sie nicht...das ist vorallem intuitiv klar (oder wenn man sich vorstellt, wie die graphen aussehen)...aber das genügt keinen formalien..da muss mann denke ich noch mehr voraussetzungen an die funktionen stellen
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:12 Fr 16.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
...also jetzt möcht ichs aber wissen, ist meine obige Begründung richtig oder nicht? Danke. Gruss
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> ...also jetzt möcht ichs aber wissen, ist meine obige
> Begründung richtig oder nicht? Danke. Gruss
Hallo,
die Aussage als solche stimmt jedenfalls: es ist [mm] \lim_{x\to \infty}\bruch{ln(x)}{x^a}=0.
[/mm]
Vielleicht sagst Du nochmal, was genau Du damit begründest.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Fr 16.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Angela,
Ja ich denke der heikle Punkt, das ist die Begründung mit der Umkehrfunktion?
Eine Funktion sei f(x) = y. Die Umkehrfunktion dieser Funktion hat ja dann an der Stelle y auf der x-Achse den Funktionswert x.
Jetzt ist es doch irgendwie intuitiv klar, dass wenn die Funktion f(x) schneller wächst als eine Funktion g(x), dass dann die Umkehrfunktion von f(x) genau langsamer als g(x) wachsen muss. Nicht?
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:37 Mo 19.04.2010 | | Autor: | cycore |
Hab lang überlegt und hab nun die Antwort - erstmal ja, wenn die Funktion f stärker wächst als g, dann wächst g schneller als die Umkehrfkt. von f...
AABER...die Geschichte mit dem Wachstum ist nicht stark genug um qualifizierte Aussagen über die Grenzwerte auszusagen...als Beispiel:
[mm] \limes_{n\to\infty}{\bruch{exp(x)}{\summe_{i=1}^n{\bruch{1}{i}}}}=\infty
[/mm]
und
[mm] \limes_{n\to\infty}{\bruch{ln(x)}{\summe_{i=1}^n{\bruch{1}{i}}}}=1.
[/mm]
Du siehst also, dass die Wachstumsgeschichte nicht sonderlich aussagekräftig ist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:43 Mo 19.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hab lang überlegt und hab nun die Antwort - erstmal ja,
> wenn die Funktion f stärker wächst als g, dann wächst g
> schneller als die Umkehrfkt. von f...
> AABER...die Geschichte mit dem Wachstum ist nicht stark
> genug um qualifizierte Aussagen über die Grenzwerte
> auszusagen...als Beispiel:
>
> [mm]\limes_{n\to\infty}{\bruch{exp(x)}{\summe_{i=1}^n{\bruch{1}{i}}}}=\infty[/mm]
Das ist doch Unsinn !!!
Da [mm] \summe_{i=1}^n\bruch{1}{i} \to \infty [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] , gilt bei festem x:
[mm]\limes_{n\to\infty}{\bruch{exp(x)}{\summe_{i=1}^n{\bruch{1}{i}}}}=0[/mm]
> und
>
> [mm]\limes_{n\to\infty}{\bruch{ln(x)}{\summe_{i=1}^n{\bruch{1}{i}}}}=1.[/mm]
>
Auch das ist kompletter Unfug (Gleiche Begründung wie oben)
FRED
> Du siehst also, dass die Wachstumsgeschichte nicht
> sonderlich aussagekräftig ist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Mo 19.04.2010 | | Autor: | cycore |
Sorry....hab mich vertippt und meinte
[mm] \bruch{exp(n)}{H_n}
[/mm]
[mm] H_n [/mm] Harmonische Reihe bis [mm] n\in\IN
[/mm]
...
gleiches für ln(n)...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Mo 19.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ja also jetzt bin ich schon ein bisschen verwirrt, da das nicht so einfach mit der Begründung mit Hilfe der Umkehrfunktion ist.
Fred, hast du nicht noch irgend einen intelligenten Satz dazu? Oder wenigstens einen Kommentar, ob meine Begründung völlig daneben ist oder nicht.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 So 18.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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