Grenzwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige welchen Wert dieser Grenzwert annimmt.
[math] \lim_{n \to \infty }\frac{\prod_{i = 1}^{n}\left ( 1 + \frac{1}{4i^{2} - 1} \right )}{\sum_{i = 1}^{n}\left ( \frac{1}{4i^{2} - 1} \right )} [/math] |
Ich habe soeben diese Aufgabe aus meiner Analysis-Vorlesung wieder gefunden.
Da ich die Lösung schon kenne, brauche ich keine Hilfe bei der Lösung. Sie soll als Übungsaufgabe für andere Mitglieder und Gäste dienen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Di 18.08.2015 | | Autor: | reverend |
[mm] \pi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Mi 19.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeige welchen Wert dieser Grenzwert annimmt.
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> [math]\lim_{n \to \infty }\frac{\prod_{i = 1}^{n}\left ( 1 + \frac{1}{4i^{2} - 1} \right )}{\sum_{i = 1}^{n}\left ( \frac{1}{4i^{2} - 1} \right )}[/math]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> Ich habe soeben diese Aufgabe aus meiner Analysis-Vorlesung
> wieder gefunden.
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> Da ich die Lösung schon kenne, brauche ich keine Hilfe bei
> der Lösung. Sie soll als Übungsaufgabe für andere
> Mitglieder und Gäste dienen.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Dass die Folge $\left (\sum_{i = 1}^{n}\left ( \frac{1}{4i^{2} - 1} \right ) \right )_{n \in \IN}$ konvergiert, und zwar gegen \frac{1}{2}, sieht man recht einfach:
Partialbruchzerlegung von \frac{1}{4i^{2} - 1} führt auf eine Teleskopsumme.
Die Folge $(a_n)_{n \in \IN}:=\left ( \frac{\prod_{i = 1}^{n}\left ( 1 + \frac{1}{4i^{2} - 1} \right ) \right )_{n \in \IN} $ im Zähler ist nicht ganz so einfach zu bearbeiten.
Diese Folge läuft unter dem Namen "Wallisprodukt" und es gilt:
(*) \limes_{n\rightarrow\infty}a_n= \frac{\pi}{2}.
Nun ist die Frage: wie zeigt man (*) ? Mir sind 2 Möglichkeiten bekannt, beide sind trickreich:
1. Über die Integrale $\int_0^{\pi / 2} (sin(t) )^n dt$. Man bemühe Google.
2. Über die Produktdarstellung
(**) $sin (\pi z)=\pi z\, \prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{k^2}\right)$
mit $z=\frac{1}{2} $.
Aaaaber: (**) muss man auch erst einmal haben !
Mich würde interessieren, wie der Aufgabensteller die Aufgabe gelöst hat.
FRED
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> 1. Über die Integrale [mm]\int_0^{\pi / 2} (sin(t) )^n dt[/mm].
Wir hatten in der Vorlesung das Wallis-Produkt mit Hilfe genau dieses Integrals gelöst.
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