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| Aufgabe | Vorraussetzungen: p<<1 und n<<N
Man zeige das unter den obigen Voraussetzungen [mm] (1-p)^{N-n} \approx e^{-Np} [/mm] und N!/(N-n)! ) [mm] \approx N^{n} [/mm] gilt. |
Hi!
ZU der ersten Aufgabe habe ich folgendes gerechnet:
[mm] \limes_{N\rightarrow\infty} (1-p)^{N-n} =\limes_{N\rightarrow\infty} (1-p)^{N} [/mm] * [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} (1-p)^{-n}
[/mm]
(der hintere Teil strebt wegen p->0 gegen 1)
[mm] =\limes_{N\rightarrow\infty} (1-\bruch{NP}{N})^{N} \approx e^{-NP}
[/mm]
Ist das soweit richtig? Bin mir nicht so sicher ob das mit der Erweiterung mit N stimmt!Hab das im zusammenhang mit der e-funktion bis jetzt so noch nicht gesehn.
Bei der zweiten Teilaufgabe bräuchte ich eure Hilfe! Hier hab ich nicht so wirklich einen Ansatz!
Ich wünsch euch einen sonnigen Tag
GRuß
superkermit
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 So 15.04.2007 | | Autor: | wauwau |
vorausgesetzt du kennst die Stirlingsche Formel:
[mm]N! \sim (\bruch{N}{e})^{N}}*\wurzel{2*\pi*N} [/mm]
folgt
[mm] \bruch{N!}{(N-n)!} \sim \bruch{(\bruch{N}{e})^N*\wurzel{2*\pi*N}}{(\bruch{(N-n)}{e})^{N-n}*\wurzel{2*\pi*(N-n)}}
[/mm]
[mm] \bruch{N!}{(N-n)!} \sim (\bruch{N}{N-n})^{N-n}*N^{n}*\wurzel{\bruch{N}{N-n}}*e^{-n}
[/mm]
[mm] \bruch{N!}{(N-n)!} \sim (1+\bruch{n}{N-n})^{N-n}*N^{n}*\wurzel{\bruch{N}{N-n}}*e^{-n}
[/mm]
Der erste Faktor geht gegen [mm] e^n [/mm] der dritte gegen 1 und daher das ganze gegen [mm] N^n
[/mm]
Nur deine erste Abschätzung ist nicht richtig...... ich überlege sie mir auch nocht..
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Hi!
Vielen dank für deine Mühe!Kenne die Formel zwar nicht , aber die werd ich mir gleich mal anlesen!
Wie löst man den dann die erste Aufgabe? Das muß doch irgendwie über die Formel der e-funktion gehen oder? Ich war so stolz das ich mich daran noch erinnert habe! Brauch hier definiv dann wohl auch noch einen Tipp!
Grüße
superkermit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Mo 16.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Siehe Antwort zu meiner Antwort von vorhin...
[mm] (1-p)^N \sim \summe_{i=1}^{N} \binom{N}{k}*(-p)^k [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N} \bruch{N!}{(N-k)!}*\bruch{(-p)^k}{k!} [/mm]
der erste Teil ist wg. dem zweiten Ergebnis [mm] \sim N^k [/mm] daher insgesamt
[mm] \summe_{i=1}^{N} \bruch{(-Np)^k}{k!} [/mm] das ist die Reihenentwicklung von [mm] e^{-Np} [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 So 15.04.2007 | | Autor: | wauwau |
ich würde eher so argumentieren:
[mm] (1-p)^N \sim \summe_{i=1}^{N} \binom{N}{k}*(-p)^k [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N} \bruch{N!}{(N-k)!}*\bruch{(-p)^k}{k!}
[/mm]
der erste Teil ist wg. dem zweiten Ergebnis [mm] \sim N^k [/mm] daher insgesamt
[mm] \summe_{i=1}^{N} \bruch{(-Np)^k}{k!} [/mm] das ist die Reihenentwicklung von [mm] e^{-Np}
[/mm]
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