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| Aufgabe | [mm] \summe_{i=0}^{\infty} 1/(-2)^n
[/mm]
[mm] \summe_{i=2}^{\infty} [/mm] 1/(n-1)*(n+1)
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} 1/0,5^n
[/mm]
Grenzwert bestimmen Folge an+1= [mm] 2+\wurzel{3}an [/mm] |
Danke für die Antwort. Das ist schon mal super!Das Problem ist das ich bei manchen Aufgaben nicht weiß wie ich da dran gehen soll. Wenn es eine geometrische Reihe ist geht das ja relativ einfach mit der Formel. Aber wie sieht es bei solchen Aufgaben aus wie oben? Oft kann ich da nur Raten? Also ausprobieren könnt ihr mir da helfen wie ich das konkret rechnerisch mache?
Also bei der ersten Denke ich geht gegen [mm] -{\infty}
[/mm]
Bei der zwei Denke ich geht gegen 1. Da sich die Nenner Ausdrücke aufheben (n-1) und (n+1)
Bei der drei habe ich mit der formel der geometrischen Reihe konvergiert gegen 2
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} 1/0,5^n [/mm] = 1/1-0,5= 2
Bei der 4 hab ich keine Ahnung??
KANN MIR EINER HELFEN?? DANKE EUCH
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> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} 1/(-2)^n[/mm]
> [mm]\summe_{i=2}^{\infty}[/mm]
> 1/(n-1)*(n+1)
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} 1/0,5^n[/mm]
> Grenzwert bestimmen Folge
> an+1= [mm]2+\wurzel{3}an[/mm]
>
>
> Danke für die Antwort. Das ist schon mal super!Das Problem
> ist das ich bei manchen Aufgaben nicht weiß wie ich da
> dran gehen soll. Wenn es eine geometrische Reihe ist geht
> das ja relativ einfach mit der Formel. Aber wie sieht es
> bei solchen Aufgaben aus wie oben? Oft kann ich da nur
> Raten? Also ausprobieren könnt ihr mir da helfen wie ich
> das konkret rechnerisch mache?
>
> Also bei der ersten Denke ich geht gegen [mm]-{\infty}[/mm]
hier kann man auch in ne geometrische reihe umwandeln
>
> Bei der zwei Denke ich geht gegen 1. Da sich die Nenner
> Ausdrücke aufheben (n-1) und (n+1)
hier erstmal n paar glieder hinschreiben und schauen ob man was erkennt
>
> Bei der drei habe ich mit der formel der geometrischen
> Reihe konvergiert gegen 2
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} 1/0,5^n[/mm] = 1/1-0,5= 2
die summe startet erstens bei i=1 statt bei 0, und das q der geometrischen reihe muss |q|<1 sein.. 1/0.5 ist jedoch..?
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> Bei der 4 hab ich keine Ahnung??
>
> KANN MIR EINER HELFEN?? DANKE EUCH
>
>
gruß tee
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| Aufgabe | [mm] 1..\summe_{i=0}^{\infty} 1/(-2)^n
[/mm]
[mm] 2..\summe_{i=1}^{\infty} 1/1/2^n [/mm] |
1..= [mm] (1/-2)^n= [/mm] 1/1+2 = 1/3
richtig?
2..= das für immer größer werdenem n wird die Reihe gegen 0 konvergieren. richtig?
Und die 4 weiß da keiner was?
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Hallo MM,
Du solltest dir unbedingt mehr Mühe beim Eintippen geben, das was hier im Weiteren steht ist sämtlich Unfug!
> [mm]1..\summe_{i=0}^{\infty} 1/(-2)^n[/mm]
> [mm]2..\summe_{i=1}^{\infty} 1/1/2^n[/mm]
>
> 1..= [mm](1/-2)^n=[/mm] 1/1+2 = 1/3 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> richtig?
Nein, so, wie es dasteht, ist der GW [mm]\infty[/mm], du addierst unendlich oft eine Konstante auf.
Es sei denn, der Laufindex ist n und nicht i, dann kannst du es schreiben als [mm]\sum\limits_{\red{n}=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^n[/mm]
Nun schaue dir nochmal genau die Formel für die unendl. geometr. Reihe an!
>
> 2..= das für immer größer werdenem n wird die Reihe
> gegen 0 konvergieren. richtig?
Unsinn!
Außerdem meinst du die Reihe in 3), oder?
Wieder Kappes mit dem Laufindex.
Es ist [mm]\frac{1}{\frac{1}{2^n}}=2^n[/mm], du hast also [mm]\sum\limits_{\red{n}=0}^{\infty}2^n[/mm]
Was sagt die geometr. Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n[/mm] ??
Für welche [mm]q[/mm] gibt's Konvergenz, für welche Divergenz?
Bei der Reihe in 2) kannst du für den Konvergenznachweis das Majorantenkriterium hernehmen.
Multipliziere den Nenner aus und schätze gegen eine bekannte konvergente Majorante ab.
Den Reihenwert kannst du bestimmen durch eine Partialbruchzerlegung und die Grenzwertbetrachtung der Partialsummenfolge [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=0}^{k}a_n[/mm]
>
> Und die 4 weiß da keiner was?
Weise Monotonie und Beschränktheit der Folge nach.
Wieso reicht das, um Konvergenz zu erhalten?
Ob wachsend oder fallend und ob nach oben oder unten beschränkt, überlege selbst.
Mit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}[/mm] lässt sich aus der Rekursionsvorschrift schließlich der GW berechnen.
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=o}^{\infty} 1/(-2)^n [/mm] |
Entschuldigt bitte meine schlampige Schreibweise. Ich werde jetzt mehr drauf achten der Laufindex ist natürlich n.
Die Formel für die geometrische Reihe lautet:
q= an+1/an
q>1 divergent, q<1 konvergent
[mm] Grenzwert:a1*1-q^\infty/1-q
[/mm]
damit wäre das bei dieser Aufgabe:
[mm] (1/-2)^n [/mm] = 1/1+2 = 1/3
????
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Hallo MatheMarkus,
> [mm]\summe_{n=o}^{\infty} 1/(-2)^n[/mm]
>
> Entschuldigt bitte meine schlampige Schreibweise. Ich werde
> jetzt mehr drauf achten der Laufindex ist natürlich n.
>
> Die Formel für die geometrische Reihe lautet:
>
> q= an+1/an
>
> q>1 divergent, q<1 konvergent
>
> [mm]Grenzwert:a1*1-q^\infty/1-q[/mm]
>
> damit wäre das bei dieser Aufgabe:
>
> [mm](1/-2)^n[/mm] = 1/1+2 = 1/3
>
> ????
Achte auf korrekte Klammern!
[mm]\summe_{n=o}^{\infty} 1/(-2)^n=1+\bruch{1}{-2}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{-8}+...[/mm]
Gruß informix
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Also q < 1 in diesem Fall! Die Folge konvergiert also.
Ich sehe den Fehler nicht in meiner Rechnung?
Langsam bin ich echt verwirrt die geometrische Reihe ist doch eigentlich noch am einfachsten
[mm] q\infty [/mm] sagt doch genau das selbe falls q<1 ist geht dieser Wert gegen Null kann also vernachlässigt werden!
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Hallo nochmal,
> Also q < 1 in diesem Fall!
Das reicht doch nicht! Ich habe geschrieben [mm]|q|<1[/mm]
Wieso ignorierst du jeden Hinweis??
So bringt das nix - letzte Antwort von mir.
Ich fühle mich verarscht!
> Die Folge konvergiert also.
Die REIHE
>
> Ich sehe den Fehler nicht in meiner Rechnung?
> Langsam bin ich echt verwirrt die geometrische Reihe ist
> doch eigentlich noch am einfachsten
Meine Güte.
Ich habe dir die Formel hingeschrieben.
Die geometr. Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n[/mm] hat für [mm]|q|<1[/mm] dern Wert [mm]\frac{1}{1-q}[/mm]
Bei dir ist [mm]q=-\frac{1}{2}[/mm]
Das alles hatte ich geschrieben und wiederhole es zum letzten Mal.
Und für [mm]q=-\frac{1}{2}[/mm] einsetzen zu können und den Term dann auszurechnen, sollte man doch von einem Studenten erwarten dürfen, oder?
Das kann ein 7.Klässler!
Gruß
schachuzipus
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Das kann ein 7.Klässler! <-- Das hat mir besonders geholfen danke!
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Hallo nochmal,
> Das kann ein 7.Klässler! <-- Das hat mir besonders
> geholfen danke!
Das bezog sich nur auf das Einsetzen und Ausrechnen!
Ich wollte dir damit nicht zu nahe treten, aber du gehst auf keinen Hinweis vernünftig ein und ignorierst die Hilfen, die du bekommst.
Du hast die fertige Formel, das q und alles, was du brauchst, serviert bekommen und fragst, was nun zu tun ist ...
Was soll man denn davon halten?
Wie lautet denn nun der Reihenwert?
Gruß
schachuzipus
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Man traut sich ja gar nix mehr zu sagen: [mm] \bruch{4}{6}
[/mm]
Danke trotzdem für deine Mühe
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Hallo nochmal,
> Man traut sich ja gar nix mehr zu sagen: [mm]\bruch{4}{6}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
[mm]=\frac{2}{3}[/mm]
> Danke trotzdem für deine Mühe
Jo, kein Ding!
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> [mm]\summe_{n=o}^{\infty} 1/(-2)^n[/mm]
>
> Entschuldigt bitte meine schlampige Schreibweise. Ich werde
> jetzt mehr drauf achten
Das scheint mir aber gar nicht so!
> der Laufindex ist natürlich n.
>
> Die Formel für die geometrische Reihe lautet:
>
> q= an+1/an
Was soll das sein? [mm]n\cdot{}a+\frac{1}{n\cdot{}a}[/mm] ??
Was hat das mit q zu tun?
>
> q>1 divergent, q<1 konvergent
>
> [mm]Grenzwert:a1*1-q^\infty/1-q[/mm]
Wieso setzt du keine Klammern? In Westeuropa gilt Punkt- vor Strichrechnung!
Da steht [mm]1-\frac{q^{\infty}}{1}-q=1-q^{\infty}-q[/mm]
Was immer das bedeuten mag (was ist [mm]q^{\infty}[/mm] ??)
>
> damit wäre das bei dieser Aufgabe:
>
> [mm](1/-2)^n[/mm] = 1/1+2 = 1/3
>
> ????
Eine geometrische Reihe ist eine Reihe des Typs [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n[/mm]
Die endliche geometrische Reihe: [mm]\sum\limits_{n=0}^{k}q^n[/mm] hat den Wert [mm]\frac{1-q^{k+1}}{1-q}[/mm]
Hieran siehst du, dass wenn [mm]|q|<1[/mm] ist, der Zähler für [mm]k\to\infty[/mm] gegen [mm]1-0=1[/mm] konvergiert.
Mithin hat man für [mm]|q|<1[/mm] die Formel für die unendliche geometrische Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}[/mm]
Nun ist bei dir [mm]q=-\frac{1}{2}[/mm]
Das ist betraglich <1, was ergibt sich also als Reihenwert?
Und schreibe sorgfältiger auf, sonst ist alles falsch
Gruß
schachuzipus
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