Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Do 04.10.2012 | | Autor: | hilbert |
Ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich noch nicht so zurecht komme.
Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] \produkt_{i=2}^{n}cos(\bruch{\pi}{2^i}) [/mm] eine Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi}.
[/mm]
Generell komme ich mit Summen, also Reihen, mittlerweile ganz gut klar, aber ich dachte immer es sei schwierig den Grenzwert zu bestimmen. Wenn, dann war es bis jetzt immer der Fall dies auf eine Teleskopsumme zurückzuführen. Dies ist hier ja nicht möglich, da wir ein Produkt vorfinden.
Notwenig zur Konvergenz des Produktes ist, dass die Folge innerhalb des Produktes gegen 1 konvergieren muss, dies ist hier der Fall. Andererseits sind nur endlich viele Faktoren 0, was unserer Definition von der Konvergenz auch nicht widerspricht. Hier gibt es doch sicherlich einen guten kleinen Trick um den Grenzwert rauszubekommen?
Vielen Dank schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Do 04.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo hilbert,
starke Aufgabe. helbig schreibt gerade eine Antwort.
Ich glaube, ich habe endlich auch eine Lösung. Mal sehen, ob es die gleiche ist. Bei mir kommt ein Riemann-Integral und dessen Grenzwert (also ein ganz normales bestimmtes Integral) vor.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Do 04.10.2012 | | Autor: | hilbert |
Ja, ich finde die Aufgabe auch stark.
Bei den anderen Aufgaben reichte es immer [mm] p_{n,m}=a_n [/mm] * ... * [mm] a_m [/mm] zu betrachten und dort eine geschickte Abschätzung zu wählen. Hier komme ich einfach nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Do 04.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo hilbert,
> Ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich noch nicht so
> zurecht komme.
>
> Sei [mm]a_n[/mm] = [mm]\produkt_{i=2}^{n}cos(\bruch{\pi}{2^i})[/mm] eine
> Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = [mm]\bruch{2}{\pi}.[/mm]
>
Hierzu zeigst Du zunächst per Induktion nach $n$:
[mm] $\frac [/mm] 1 [mm] {2^n \sin(\pi/2^{n+1})}=a_{n+1}$.
[/mm]
Für den Grenzwert der linken Seite beachte [mm] $\lim_{x\to 0} \frac {\sin x} [/mm] x = 1$.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Do 04.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Wolfgang,
tolle Idee! Ich habe erst mal ein Weilchen gebraucht, um sie nachzuvollziehen...
Dann stelle ich meinen Lösungsansatz auch mal ein, er ist definitiv anders. 
Herzliche Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Do 04.10.2012 | | Autor: | hilbert |
Wie soll man denn auf so einen Ansatz selbst kommen?
Hast du dir das gerade selber überlegt oder wusstest du das von früher bzw hast nachgeschaut?
Falls ersteres: Hut ab! Von so einem mathematischen Können bin ich noch Meilen entfernt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Do 04.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo hilbert,
> Wie soll man denn auf so einen Ansatz selbst kommen?
> Hast du dir das gerade selber überlegt oder wusstest du
> das von früher bzw hast nachgeschaut?
Die Formel stammt von Vieta (1593). Und die beiden Beweisideen stehen im Königsberger, Analysis I, als Hinweise zu dieser Aufgabe (Seite 136). Selbst mit den Hinweisen halte ich die Aufgabe für schwer genug.
Grüße,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo hilbert,
> Wie soll man denn auf so einen Ansatz selbst kommen?
Remmert gibt bei der Aufgabe den Tip "Vieta-Produkt" und schon im ersten (grammatikalischen) Satz des Kapitels verweist er auf seinen Beitrag "Was ist [mm] $\pi$" [/mm] im Buch Ebbinghaus et al.: "Zahlen". Dort findest Du die Herleitung.
Oder Du kennst den Königsberger. Ich arbeite gerade an der Umkehrung zu:
"Was nicht im Königsberger steht, weiß ich nicht."
Gruß,
Wolfgang
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Hallo hilbert,
neulich in Paris (Dein gefeierter Vortrag, ich meine am 8.8.1900) klangst Du nach jemandem mit mehr mathematischer Innovativität.
Nee, allen Ernstes, die Aufgabe hat es so richtig in sich. Ich wollte Dich nur mit Deinem Nick aufziehen.
Also: vorab eine kurze Rückmeldung; zur Lösung dann weiter unten.
> Ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich noch nicht so
> zurecht komme.
Das kann ich bestens nachvollziehen.
> Sei [mm]a_n[/mm] = [mm]\produkt_{i=2}^{n}cos(\bruch{\pi}{2^i})[/mm] eine
> Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = [mm]\bruch{2}{\pi}.[/mm]
>
> Generell komme ich mit Summen, also Reihen, mittlerweile
> ganz gut klar, aber ich dachte immer es sei schwierig den
> Grenzwert zu bestimmen. Wenn, dann war es bis jetzt immer
> der Fall dies auf eine Teleskopsumme zurückzuführen. Dies
> ist hier ja nicht möglich, da wir ein Produkt vorfinden.
Keine Teleskopsumme, aber eine Summe. Siehe unten.
> Notwenig zur Konvergenz des Produktes ist, dass die Folge
> innerhalb des Produktes gegen 1 konvergieren muss, dies ist
> hier der Fall.
Ja, klar.
> Andererseits sind nur endlich viele Faktoren 0
Falsch. Kein Faktor ist 0, sonst wäre das Produkt es auch.
> was unserer Definition von der Konvergenz auch nicht
> widerspricht. Hier gibt es doch sicherlich einen guten
> kleinen Trick um den Grenzwert rauszubekommen?
Es gibt bestimmt mehrere, aber sie scheinen alle nicht leicht zu finden zu sein. Hier ist meiner:
Die meisten mathematisch Interessierten kennen die trigonometrischen Additionstheoreme. Man kann ein paar auswendig, die anderen schaut man halt nach. Aber da gibt es ja noch mehr.
Zum Beispiel gilt auch [mm] \cos{x}*\cos{y}=\bruch{1}{2}(\cos{(x+y)+\cos{(x-y)}}
[/mm]
Das findest Du in Formelsammlungen, z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
Damit findet man
[mm] \cos{\bruch{\pi}{4}}*\cos{\bruch{\pi}{8}}=\bruch{1}{2}(\cos{\bruch{1}{8}\pi}+\cos{\bruch{3}{8}\pi})
[/mm]
[mm] \cos{\bruch{\pi}{4}}*\cos{\bruch{\pi}{8}}*\cos{\bruch{\pi}{16}}=\bruch{1}{4}(\cos{\bruch{1}{16}\pi}+\cos{\bruch{3}{16}\pi}+\cos{\bruch{5}{16}\pi}+\cos{\bruch{7}{16}\pi})
[/mm]
...usw.
Die große Klammer ist ziemlich offensichtlich ein Riemann-Integral, allerdings weder Ober- noch Untersumme, sondern "mittig". In der zweiten Gleichung wird die Funktion [mm] f(x)=\cos{x} [/mm] im Bereich 0 bis [mm] \tfrac{\pi}{2} [/mm] in vier "Streifen" geteilt.
Das geht so weiter, wie sich leicht zeigen lässt.
Es ist
[mm] a_n=\produkt_{i=2}^{n}\cos{\bruch{\pi}{2^i}}=\bruch{1}{2^{n-2}}\summe_{k=1}^{2^{n-2}}\cos{\left(\bruch{2k-1}{2^n}\pi\right)}
[/mm]
So. Hier halten wir mal inne. Natürlich kann man das noch lustig umformen. Aber interessant ist die Summe, die sich als Riemann-Integral lesen lässt. Sein Bereich ist der von 0 bis [mm] \tfrac{\pi}{2}. [/mm] Die "Streifenbreite" müsste bei [mm] 2^{n-2} [/mm] Streifen also [mm] \tfrac{\pi}{2*2^{n-2}} [/mm] betragen.
In der Rechnung aber ist die Breite mit [mm] \tfrac{1}{2^{n-2}} [/mm] berücksichtigt.
Ich lasse eine annähernd mathematisch korrekte Formulierung aus, habe gerade sowieso genug einzutippen...
Jedenfalls wird sich (quasi offensichtlich) ergeben, dass
[mm] \lim_{n\to\infty}a_n=\bruch{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}{\cos{x}\ dx}
[/mm]
Viel Spaß beim Kauen. Frag nicht zu schnell, sondern versuch erstmal, die Idee nachzuvollziehen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Do 04.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
ich bin vielleicht zu gutgläubig. Außerdem freue ich mich, wie die meisten Antwortgeber hier, immer über interessante Aufgaben.
Nur ist diese vielleicht zu interessant.
Das ist keine Übungsaufgabe, die man mit den "üblichen" Mitteln und etwas Grips erledigen kann. Auf die Idee, dass es sich um eine Wettbewerbsaufgabe handeln könnte, bin ich aber erst jetzt gekommen.
Wenn es eine solche Aufgabe wäre, dann wäre sie in diesem Forum nicht willkommen, sonden ein Verstoß gegen die Forenregeln. Das gilt übrigens auch für Aufgabe aus dem JuMa-Förderprogramm. Wir stehen da in einem guten Kontakt.
Darum, hilbert, bitte ich Dich um Angabe der Quelle (wenn Du willst, auch per PN/Persönlicher Nachricht). Die werde ich überprüfen.
Wenn Du keine Quelle angibst oder sie einer Überprüfung nicht standhält, werde ich unsere Kontakte beim Bundeswettbewerb Mathematik, JuMa und IMO mit einer Nachricht über einen Täuschungsversuch versorgen.
Vielleicht ist der Hintergrund aber viel einfacher der, dass ein Aufgabensteller es seinen "Eleven" mal so richtig zeigen will... Das ist nicht der Zweck einer Übungsaufgabe, passiert aber leider immer wieder einmal.
Also?
Grüße
reverend
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