Grenzwert gegen eine feste Zah < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:53 So 11.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Mit Testwerten hätte ich mich bei sowas immer von links und rechts angenähert, aber wie kann man die Grenzwerte auch so zeigen? Bei der a beispielsweise.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Thomas,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Mit Testwerten hätte ich mich bei sowas immer von links
> und rechts angenähert, aber wie kann man die Grenzwerte
> auch so zeigen? Bei der a beispielsweise.
Bei (a) mache die beiden Brüche mal gleichnamig.
Dann hast du Polynome im Zähler und Nenner hast, da empfiehlt es sich eigentlich immer, diese zu faktorisieren
Suche die Nullstellen von Zähler und Nenner und faktorisiere, dann kannst du kürzen und [mm] $x\to [/mm] 1$ laufen lassen
Ähnlich bei (d), dort kannst du aber nicht kürzen und musst den rechts- und linksseitigen Limes getrennt betrachten
Bei den anderen 3 Aufgaben ist die Regel von de l'Hôpital sehr hilfreich
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 So 11.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Da muss ich jetzt nochmal nachhaken.
Also faktorisiert und gekürzt hatte ich jetzt so bei der a:
[mm] \bruch{1 (1 - x^3)}{(1-x)(1-x^3)} [/mm] - [mm] \bruch{3 (1-x)}{(1-x^3)(1-x)}
[/mm]
Und dann bin ich hierhauf gekommen.
[mm] \bruch{- \bruch{x^3}{x^4} - \bruch{3x}{x^4} - \bruch{2}{x^4} }{1 - \bruch{x^3}{x^4} - \bruch{x}{x^4} + \bruch{1}{x^4}}
[/mm]
Aber was soll ich nun mit den Nullstellen von Nenner und Zähler machen? Im Nenner ist die Nullstelle 1, das ist ja klar. Die vom Zähler wär jetzt nicht so eindeutig, aber was würde ich denn nun damit machen?
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Hallo nochmal,
> Da muss ich jetzt nochmal nachhaken.
>
> Also faktorisiert und gekürzt hatte ich jetzt so bei der
> a:
>
> [mm]\bruch{1 (1 - x^3)}{(1-x)(1-x^3)}[/mm] - [mm]\bruch{3 (1-x)}{(1-x^3)(1-x)}[/mm]
>
> Und dann bin ich hierhauf gekommen.
>
> [mm]\bruch{- \bruch{x^3}{x^4} - \bruch{3x}{x^4} - \bruch{2}{x^4} }{1 - \bruch{x^3}{x^4} - \bruch{x}{x^4} + \bruch{1}{x^4}}[/mm]
Uff, schreibe die Diffenrenz, die oben steht auf einen Bruchstrich
[mm] $\bruch{1 (1 - x^3)}{(1-x)(1-x^3)}-\bruch{3 (1-x)}{(1-x^3)(1-x)}=\bruch{(1-x^3)-\left[3 (1-x)\right]}{(1-x^3)(1-x)}=\bruch{1-x^3-3 x+3}{(1-x^3)(1-x)}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{(x+2)(x-1)(1-x)}{(x-1)(-x^2-x-1)(1-x)}$
[/mm]
Nun ausgiebig kürzen und dann den Grenzübergang machen
>
> Aber was soll ich nun mit den Nullstellen von Nenner und
> Zähler machen? Im Nenner ist die Nullstelle 1, das ist ja
> klar. Die vom Zähler wär jetzt nicht so eindeutig, aber was
> würde ich denn nun damit machen?
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 11.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Ich bin da irgendwie zu blöd für. Ich hab's mir eine Zeit lang angeschaut, aber ich kann mir nicht erklären, wie du auf den letzten Schritt gekommen bist. Und wie ich einen Grenzübergang mache, weiß ich auch nicht. Ich find darüber auch nichts.
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Hallo Thomas,
> Ich bin da irgendwie zu blöd für. Ich hab's mir eine Zeit
> lang angeschaut, aber ich kann mir nicht erklären, wie du
> auf den letzten Schritt gekommen bist. Und wie ich einen
> Grenzübergang mache, weiß ich auch nicht. Ich find darüber
> auch nichts.
Na, da habe ich den Zähler und Nenner faktoriseirt.
Loddar hat schon geschrieben, dass [mm] $a^3-b^3 [/mm] \ = \ [mm] (a-b)\cdot{}\left(a^2+ab+b^2\right)$ [/mm] ist
Mit $a=1, b=x$ ist also [mm] $(1-x^3)=(1-x)(1+x+x^2)=-1(x-1)(x^2+x+1)=(x-1)(-x^2-x-1)$
[/mm]
So habe ich den Nenner faktorisiert in [mm] $\blue{(1-x^3)}(1-x)=\blue{(x-1)(-x^2-x-1)}(1-x)$
[/mm]
Im Zähler steht [mm] $1-x^3\red{+}3 x\red{-3}=-x^3+3x-2$
[/mm]
Da hatte ich mich verschrieben ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , obwohl ich extra eine Minusklammer gesetzt habe 
Das hat offenbar x=1 als NST
Also mit Polynomdivision [mm] $(-x^3+3x-2):(x-1)=-x^2-x+2$
[/mm]
Das hat als weiter Nullstelle $x=-2$, also Polynomdivision
[mm] $-x^2-x+2):(x+2)=1-x$
[/mm]
Also ist der Zähler faktorisiert durch [mm] $-x^3+3x-2=(x-1)(x+2)(1-x)$
[/mm]
Insgesamt haben wir damit die Faktorisierung
[mm] $\frac{-x^3+3x-2}{(1-x^3)(1-x)}=\frac{\red{(x-1)}(x+2)\blue{(1-x)}}{\red{(x-1)}(-x^2-x-1)\blue{(1-x)}}$
[/mm]
Hier nun gemeinsame Faktoren kürzen:
[mm] $=\frac{x+2}{-x^2-x-1}$
[/mm]
Was passier hier nun, wenn x gegen 1 geht?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 So 11.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Achso, gut, dann ist es ja klar, dass ich nicht drauf gekommen bin. Hab den Fehler auch nicht gesehen. Also kommt einfach -1 raus. Also soll man die Sachen einfach so lange umformen, bis der Nenner für die Zahl definiert ist. Prima, ich schau mir erstmal die anderen an.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 So 11.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
> Also kommt einfach -1 raus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 So 11.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Auf der Grundlage von
[mm] $$a^3-b^3 [/mm] \ = \ [mm] (a-b)*\left(a^2+ab+b^2\right)$$
[/mm]
kannst Du den Bruch auch mit [mm] $\left( \ \wurzel[3]{(8+x)^2}+2*\wurzel[3]{8+x}+4 \ \right)$ [/mm] erweitern.
Gruß
Loddar
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