Grenzwert mit l'Hospital < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Mi 07.04.2010 | | Autor: | mich1985 |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow 1} (2x^{2}-1)^{\bruch{1}{sin (\pi \* x)}} [/mm] |
Hallo alle zusammen,
ich versuche mich gerade an der oben genannten Aufgabe und komme aber irgendwie nicht zur richtigen Lösung.
Folgenden Ansatz habe ich:
[mm] (2x^{2}-1)^{\bruch{1}{sin (\pi \* x)}} [/mm] entspricht ja [mm] 1^{Infinity} [/mm] daher stelle ich das ganze nach [mm] e^{\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{1}{sin(\pi x)}ln(2x^{2}-1)} [/mm] um und erhalte damit eine Funktion vom Typ [mm] \infty\*0.
[/mm]
Diese wiederum kann ich ja dann nach [mm] \bruch{\bruch{1}{sin \pi x}}{\bruch{1}{ln(2x^{2}-1)}} [/mm] umbauen und anschliessend ableiten.
Allerdings bekomme ich dann einen Term der in folgendem Ausdruck resultiert [mm] \bruch{\bruch{\pi}{0}}{\bruch{-4}{0}} [/mm] (wenn ich x gegen 1 laufen lassen).
Hat evtl. einen anderen Ansatz (der unter Umständen etwas kürzer und einfacher ist) ?
Gruß
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Hallo Mich!
> Diese wiederum kann ich ja dann nach [mm]\bruch{\bruch{1}{sin \pi x}}{\bruch{1}{ln(2x^{2}-1)}}[/mm]
> umbauen und anschliessend ableiten.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber warum so kompliziert?
Das kann man auch umformen zu:
[mm] $$\bruch{\ln\left(2x^2-1\right)}{\sin\left( \pi* x\right)}$$
[/mm]
Das erscheint mir doch etwas leichter zu händeln ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Mi 07.04.2010 | | Autor: | mich1985 |
Danke! Mhh darauf hätte ich auch selber kommen müssen  .
Für die jenigen die es interessiert ->
Abgeleitet wird aus dem obigen Term folgendes:
[mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{4x*\bruch{1}{2x^{2}-1}}{\pi*cos(\pi*x)} [/mm] = [mm] -\bruch{4}{\pi}
[/mm]
Und als Lösung zur Ausgangsfunktion erhält man [mm] e^{-\bruch{4}{\pi}}
[/mm]
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