Grenzwert von Folgen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Di 22.12.2009 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge und geben Sie den Rechenweg kurz an. [mm] a_{n}=\bruch{n^2-1}{n+2} [/mm] |
Guten Morgen zusammen! Vielleicht könnt ihr mir bei obiger Aufgabe helfen, bzw. mir verraten ob mein Rechnenweg bzw. meine Schlussfolgerung so okay ist.
[mm] a_{n}=\bruch{n^2-1}{n+2}=\bruch{1-\bruch{1}{n^2}}{\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\bruch{\limes (1-\bruch{1}{n^2})}{\lim(\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}
[/mm]
Nun zu meiner eigentlichen Frage: Kann ich jetzt wie folgt argumentieren?
Da der Grenzwert des Nenners = 0 ist (und die Division in [mm] \IR [/mm] nicht definiert ist) hat diese Folge keinen Grenzwert??
Danke und Frohe Weihnachten
Schobbi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Di 22.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge und geben Sie den
> Rechenweg kurz an. [mm]a_{n}=\bruch{n^2-1}{n+2}[/mm]
> Guten Morgen zusammen! Vielleicht könnt ihr mir bei
> obiger Aufgabe helfen, bzw. mir verraten ob mein Rechnenweg
> bzw. meine Schlussfolgerung so okay ist.
>
> [mm]a_{n}=\bruch{n^2-1}{n+2}=\bruch{1-\bruch{1}{n^2}}{\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\bruch{\limes (1-\bruch{1}{n^2})}{\lim(\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}[/mm]
Diese Gleichung kannst Du nur hinschreiben, wenn [mm] (a_n) [/mm] einen Grenzwert hat !
>
> Nun zu meiner eigentlichen Frage: Kann ich jetzt wie folgt
> argumentieren?
> Da der Grenzwert des Nenners = 0 ist (und die Division in
> [mm]\IR[/mm] nicht definiert ist) hat diese Folge keinen
> Grenzwert??
Die Idee ist richtig. Argumentiere so:
Für n [mm] \ge [/mm] 2 ist
[mm] $a_n \ge \bruch{n^2-4}{n+2}= [/mm] n-2$
[mm] (a_n [/mm] ) ist also unbeschränkt und somit nicht konvergent
Allerdings: [mm] $a_n \to \infty$ [/mm] für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
FRED
>
> Danke und Frohe Weihnachten
> Schobbi
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