Grenzwert von sin x < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Sa 02.07.2016 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] (sin [mm] x)^x [/mm] |
Hallo,
weiß jemand vielleicht wie man von
[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{x}{(sin x)^x} [/mm] auf die Lösung
[mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] (sin [mm] x)^x [/mm] = [mm] e^0 [/mm] kommt?
Ich finde auch kein Additionstheorem, das diese Gleichung löst. :(
Viele Grüße
Joan
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Ich bin nur Laie, also bitte mit Vorsicht genießen:
Für kleine x gilt: sin(x) = x
[mm] x^x [/mm] = [mm] e^{lnx^x}=e^{xlnx}=e^{lnx/1/x}
[/mm]
Dann l'Hospital:
[mm] ln(x)/x^{-1}=x^{-1}/-x^-2=-x
[/mm]
Also lim [mm] e^{-x} [/mm] = [mm] e^0 [/mm] = 1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Sa 02.07.2016 | | Autor: | fred97 |
Für "kleine" positive x ist
[mm] (sinx)^x=e^{x*ln(sinx)}
[/mm]
Berechne zunächst
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*ln(sinx)
[/mm]
FRED
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