Grenzwertberechnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Fr 04.02.2005 | | Autor: | unagi |
Hi
Habe hier einen Grenzwert den ich nicht berechnen kann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{9n^{2}+2n+1}-3n
[/mm]
Könnte in der Klausur vorkommen (schwitz)...
Schonmal herzlichen Dank für die Mühe!!!
mfg
UNAGI
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Sanne |
Hallo Unagi,
ich gebe dir mal ein Stichwort - 3. binomische Formel.
Fange mal so an
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{9n^2+2n+2}-3n}{1} [/mm] =...
und erweitere nun Zähler und Nenner so, dass du im Zähler die dritte binomische Formel anwenden kannst (d.h. der Zähler hat erst die Form [mm](a+b)(a-b)[/mm], dann umformen auf [mm] a^2-b^2).
[/mm]
Anschließend kannst du n im Zähler und Nenner ausklammern (beim Nenner aufpassen, dass du wegen der Wurzel richtig ausklammerst), rauskürzen und von dem übriggebliebenen Term ganz simpel den Grenzwert bestimmen.
Zur Überprüfung - es kommt [mm] \bruch{1}{3} [/mm] als Grenzwert raus.
Kommst du mit den Hinweisen nun alleine klar?
Versuch es mal, dann können wir deinen Versuch ggf. korrigieren bzw. dir konkret an der Stelle helfen, wo du nicht weiterkommst.
Gruß
Sanne
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Fr 04.02.2005 | | Autor: | unagi |
Schon mal Danke!
Ich verstehe noch garnicht, wie du von
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{9n^{2}+2n+1}-3n [/mm] $
zu
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{n^2+2n+2}-3}{1} [/mm] $
kommst. Wo ist z.B. die 9 unter der Wurzel geblieben?
mfg
unagi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Sanne |
Sorry, war nur nen Tippfehler, ich korrigiere es gleich *schäm*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Sa 05.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
fangen wir nochmal bei
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{9n^{2}+2n+1}-3n[/mm]
an. die idee von Sanne mit der dritten binomischen formel ist genau die richtige. erweitere nun mit dem entsprechenden term um eben dieses binom zu erhalten, nämlich mit [mm] \wurzel{9n^{2}+2n+1} + 3n[/mm]. dann erhälst du [m] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{9n^{2}+2n+1-9n^2}{\wurzel{9n^{2}+2n+1} + 3n} [/m]. und probiere mal dies weiter zu vereinfachen (beachte dabei, dass der wurzel-term sich im grenzwert wie $3n$ verhält)!
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Sa 05.02.2005 | | Autor: | unagi |
Danke schonmal für die Riesenhilfe! Habs glaube ich geschafft. Puh.
Also:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{9n^{2}+2n+1}-3n [/mm] $
[mm] \Rightarrow $\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{9n^{2}+2n+1-9n^2}{\wurzel{9n^{2}+2n+1} + 3n} [/mm] $
[mm] \Rightarrow\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n+1}{\wurzel{9n^2+2n+1}+3n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n(2+\bruch{1}{n})}{n(\wurzel{9+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}+3)}=\bruch{2}{6}=\bruch{1}{3}
[/mm]
zum schluss ein bisschen schlampig geschrieben, aber stimmt das so?
Nochmal herzlichen Dank für die Hilfe!
unagi
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Hallo.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, das stimmt so!
(Kurz, knapp und bündig, aber die Lösung ist halt einfach ok so)
Gruß,
Christian
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