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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Fincayra |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Folgen mit den Rechenregeln aus der Vorlesung.
[mm]d_n = \wurzel{\bruch{n^2 -1}{n^2 + 2}} + i \left( \bruch{1}{2} \right)^n [/mm]
[mm]e_n = \bruch{n+1}{2^n} + \bruch{i*n}{i+n}[/mm] |
Hallo!
Die Rechenregeln aus der Vorlesung könnt ihr mir natürlich nicht erklären, aber ich geh mal davon aus, dass das auch ohne geht : )
Erstmal brauch ich ja einen Grenzwert von dem ich behaupten kann, er sei richtig. Da hab ich für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} d_n = 1[/mm] und für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e_n = i [/mm].
Stimmt das überhaupt schon? Falls ich das schon falsch hinbekommen hab, erklärt das auch, warum meine Rechnungen nicht klappen ; )
Versucht zu rechnen hab ich dann munter mit unserer Definition für Konvergenz [mm]\forall \varepsilon>0 \exists N \in \IN [/mm] mit [mm] |a_n - a | < \varepsilon, [/mm]falls [mm] n \ge N [/mm] und abschätzen. So ein Beispiel steht nämlich auch im Skript.
Falls das bis hierhin richtig sein sollte, poste ich mal mein Gerechne.
LG
Fin
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Hallo Fincayra,
och schade, so ein paar Erklärungen aus der Vorlesung wären doch nett gewesen. 
> Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Folgen mit den
> Rechenregeln aus der Vorlesung.
>
> [mm]d_n = \wurzel{\bruch{n^2 -1}{n^2 + 2}} + i \left( \bruch{1}{2} \right)^n[/mm]
>
> [mm]e_n = \bruch{n+1}{2^n} + \bruch{i*n}{i+n}[/mm]
Mal so vorab: soll "i" hier die imaginäre Einheit sein? Oder irgendetwas anderes?
> Die Rechenregeln aus der Vorlesung könnt ihr mir
> natürlich nicht erklären, aber ich geh mal davon aus,
> dass das auch ohne geht : )
Wenn wir sie auch kennen, vielleicht.
> Erstmal brauch ich ja einen Grenzwert von dem ich behaupten
> kann, er sei richtig.
Wie das? Muss man die heute nicht mehr zeigen?
> Da hab ich für
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} d_n = 1[/mm] und für
Wenn hier [mm] i=\wurzel{-1} [/mm] gemeint ist, stimmt das nicht.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} e_n = i [/mm].
Gefällt mir auch gar nicht.
> Stimmt das
> überhaupt schon? Falls ich das schon falsch hinbekommen
> hab, erklärt das auch, warum meine Rechnungen nicht
> klappen ; )
Wie gesagt, da gibts noch eine offene Frage zur Deutung der Aufgabe, aber vor allem frage ich mich gerade, was für ein Weg das insgesamt werden soll.
> Versucht zu rechnen hab ich dann munter mit unserer
> Definition für Konvergenz [mm]\forall \varepsilon>0 \exists N \in \IN[/mm]
> mit [mm]|a_n - a | < \varepsilon, [/mm]falls [mm]n \ge N[/mm] und
> abschätzen. So ein Beispiel steht nämlich auch im Skript.
Ich zweifle immer noch, was jetzt "i" sein soll. Auf den komplexen Zahlen gibt es doch gar keine "<"-Relation etc.
> Falls das bis hierhin richtig sein sollte, poste ich mal
> mein Gerechne.
Nee, verrate erstmal, was Ihr in der Vorlesung gerade als Thema behandelt. Das ist mir aus den Aufgaben nicht wirklich ersichtlich.
Grüße
reverend
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Hallo reverend!
Ich scheine chaotischerere Dinge geschrieben zu haben, als befürchtet. Also wir behandeln grad die Konvergenz von Folgen. Was das i nun genau sein soll steht praktischerweise nicht dran, aber ich gehe mal stark von i [mm] \in \IC [/mm] aus. Schließlich gibt es noch genügend weniger verwirrende Buchstaben ; )
Zur Vorlesung selber: Zunächst steht da die Def. von Konvergenz, also eine Folge [mm] (a_n) \in \IR [/mm] / [mm] \IC [/mm] heißt konvergent, wenn ein a [mm] \in \IR [/mm] / [mm] \IC [/mm] existiert, sodass man [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 ein N [mm] \in \IN [/mm] findet, mit |a - [mm] a_n [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] , falls n [mm] \ge [/mm] N gilt.
Dann gab es das ganze nochmal etwas allgemeiner für (E,d). Und das man das Ganze dann Grenzwert nennt...
Dann folgten Beispiele.
Bspl. i) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2n-1}{n} \in \IR. [/mm] Behauptung: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = 2
Offensichtlich gilt: [mm] 0
Danach hab ich versucht mich zu richten. Allerdings scheine ich nichtmal den Grenzwert "ablesen" zu können : /
[mm] \left( \bruch{1}{2} \right)^n [/mm] geht doch gegen 0?
LG Fin
*EDIT*
Ich muss die Frage nochmal dranhängen, ich tu mich grad unheimlich schwer. Kann man die Definition von der Konvergenz mal irgendwie in nicht mathematischen Worten ausdrücken? Ich verhaspel mich da total drin. Warum ist dieses große N da?
Für [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] hätte ich ja dann zB
[mm] \bruch{1}{1} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] , wenn 1 [mm] \ge [/mm] N
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] , wenn 2 [mm] \ge [/mm] N
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] , wenn 3 [mm] \ge [/mm] N
...
Und was sagt mir das jetzt? Ich glaube, ich steh total auf dem Schlauch : (
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 23.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Mi 21.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo Fincayra,
>
> och schade, so ein paar Erklärungen aus der Vorlesung
> wären doch nett gewesen.
>
> > Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Folgen mit den
> > Rechenregeln aus der Vorlesung.
> >
> > [mm]d_n = \wurzel{\bruch{n^2 -1}{n^2 + 2}} + i \left( \bruch{1}{2} \right)^n[/mm]
Hallo,
wenn i die imaginäre Einheit ist, dann konvergiert der Realteil gegen 1 und der Imaginärteil gegen Null.
Der Grenzwert 1 stimmt also.
>
> >
> > [mm]e_n = \bruch{n+1}{2^n} + \bruch{i*n}{i+n}[/mm]
Der erste Bruch marschiert zielsterbig gegen Null.
Den zweiten Bruch musst du erst einmal mit (i-n) erweitern, um den Nenner reell zu bekommen und den Bruch in Real- und Imaginärteil aufspalten zu können.
Gruß Abakus
>
> Mal so vorab: soll "i" hier die imaginäre Einheit sein?
> Oder irgendetwas anderes?
>
> > Die Rechenregeln aus der Vorlesung könnt ihr mir
> > natürlich nicht erklären, aber ich geh mal davon aus,
> > dass das auch ohne geht : )
>
> Wenn wir sie auch kennen, vielleicht.
>
> > Erstmal brauch ich ja einen Grenzwert von dem ich behaupten
> > kann, er sei richtig.
>
> Wie das? Muss man die heute nicht mehr zeigen?
>
> > Da hab ich für
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} d_n = 1[/mm] und für
>
> Wenn hier [mm]i=\wurzel{-1}[/mm] gemeint ist, stimmt das nicht.
>
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} e_n = i [/mm].
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> Gefällt mir auch gar nicht.
>
> > Stimmt das
> > überhaupt schon? Falls ich das schon falsch hinbekommen
> > hab, erklärt das auch, warum meine Rechnungen nicht
> > klappen ; )
>
> Wie gesagt, da gibts noch eine offene Frage zur Deutung der
> Aufgabe, aber vor allem frage ich mich gerade, was für ein
> Weg das insgesamt werden soll.
>
> > Versucht zu rechnen hab ich dann munter mit unserer
> > Definition für Konvergenz [mm]\forall \varepsilon>0 \exists N \in \IN[/mm]
> > mit [mm]|a_n - a | < \varepsilon, [/mm]falls [mm]n \ge N[/mm] und
> > abschätzen. So ein Beispiel steht nämlich auch im Skript.
>
> Ich zweifle immer noch, was jetzt "i" sein soll. Auf den
> komplexen Zahlen gibt es doch gar keine "<"-Relation etc.
>
> > Falls das bis hierhin richtig sein sollte, poste ich mal
> > mein Gerechne.
>
> Nee, verrate erstmal, was Ihr in der Vorlesung gerade als
> Thema behandelt. Das ist mir aus den Aufgaben nicht
> wirklich ersichtlich.
>
> Grüße
> reverend
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