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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Do 29.12.2005 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Für k, n [mm] \in \IN [/mm] bezeichne [mm] c_{n,k} [/mm] := k(1-(1- [mm] \bruch{1}{k})^{n}).
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n,k} [/mm] = k
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} c_{n,k} [/mm] = n.
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Hallo an alle...
Der erste Grenzwert ist klar, da komme ich auch rauf...
zumindest denke ich, dass ich es richtig bewiesen habe...
aber stimmt es auch?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n,k} [/mm] = k
[mm] c_{n,k} [/mm] := k(1-(1- [mm] \bruch{1}{k})^{n}).
[/mm]
n geht gegen unendlich
[mm] \bruch{1}{k} \le [/mm] 1
(1- [mm] \bruch{1}{k}) \le [/mm] 1 und [mm] \ge [/mm] 0
(1- (1- [mm] \bruch{1}{k})^{n}))
[/mm]
1 - [0,1] [mm] \le [/mm] 1
k * (1- (1- [mm] \bruch{1}{k})^{n}))
[/mm]
= k
Ich weiß, mathematisch und unigerecht wiedermal bescheiden aufgeschrieben... wie macht man es richtig? Langt das so?
Mit dem Grenzwert k gegen unendlich Grenzwert = n
da komme ich mit diesem System nicht rauf... ich hoffe, mir
kann da jemand einen Weg zeigen, wie man das macht.
Vielen Dank für Hilfe im Voraus
Gruß
Doreen
Diese Frage habe ich in keinen anderem Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Do 29.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Doreen!
Bei der ersten Teilaufgabe reicht es ja aus, mit den Grenzwertsätzen vorzugehen.
Schließlich gilt für die "innere Folge" [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1-\bruch{1}{k}\right)^n [/mm] \ = \ 0$, da [mm] $1-\bruch{1}{k} [/mm] \ < \ 1 \ \ [mm] \forall [/mm] \ [mm] k\in\IN$
[/mm]
(Stichwort: geometrische Folge)
Damit wird:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}k*\left[1-\blue{\left(1-\bruch{1}{k}\right)^n}\right] [/mm] \ = \ [mm] k*[1-\blue{0}] [/mm] \ = \ k*1 \ = \ k$
Die andere Teilaufgabe ist etwas komplizierter. Hier schreiben wir den Folgen ausdruck [mm] $c_{n,k}$ [/mm] zunächst etwas um:
[mm] $c_{n,k} [/mm] \ = \ [mm] k*\left[1-\left(1-\bruch{1}{k}\right)^n\right] [/mm] \ = \ [mm] k*\left[1-\left(\bruch{k-1}{k}\right)^n\right] [/mm] \ = \ [mm] k*\left[1-\bruch{(k-1)^n}{k^n}\right] [/mm] \ = \ [mm] k*\bruch{k^n-(k-1)^n}{k^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k^n-(k-1)^n}{k^{n-1}}$
[/mm]
Und nun musst Du $n_$-mal den  Grenzwertsatz nach de l'Hospital anwenden.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:14 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Doreen |
Hallo,
auch hier vielen Dank für die Hinweise...
Jetzt muss ich aber trotzdem was fragen...
gibt es noch einen anderen Weg als den l'Hospital? Denn den
haben wir noch nicht in der Uni eingeführt...
Genausowenig wie die binomische Reihe...
Vielen Dank für Hilfe und Antwort.
Gruß Doreen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Doreen!
Ich sehe leider keine Alternative zu dien beiden genannten Wegen.
Schließlich müssen wir ja irgendwie dieses $n_$ aus dem Exponenten herunterbekommen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Do 29.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Alternativ (und schneller) kannst du bei der zweiten Aufgabe mit der Binomischen Reihe arbeiten:
$k [mm] \cdot \left( 1 - \left(1 - \frac{1}{k} \right)^n \right) [/mm] = k [mm] \cdot \left( \sum\limits_{j=1}^n {n \choose j} \frac{(-1)^{j+1}}{k^j} \right)$.
[/mm]
Offenbar trägt nur der Summand für $j=1$ etwas zum Grenzwert bei...
Liebe Grüße
Julius
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