Grenzwertbeweis Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine Funktion, für die [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) existiert. Beweisen Sie: Gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n}) [/mm] = a für eine Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] in [mm] \IR [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \infty [/mm] , dann ist [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = a. |
Guten Morgen,
komme bei der obigen Aufgabe nicht weit. Ich meine mir ist klar, das dies stimmt. Aber eine wirkliche Beweisidee habe ich nicht. Wenn man x:= [mm] a_{n} [/mm] setzt, dann ist ja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] x = [mm] \infty. [/mm] Somit muss ja auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = a gelten. Aber irgendwie ist das dann doch zu einfach gedacht. Stimmt diese Überlegung?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Mi 30.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] eine Funktion, für die
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) existiert. Beweisen Sie:
> Gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n})[/mm] = a für eine
> Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] in [mm]\IR[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = [mm]\infty[/mm] , dann ist
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = a.
> Guten Morgen,
>
> komme bei der obigen Aufgabe nicht weit. Ich meine mir ist
> klar, das dies stimmt. Aber eine wirkliche Beweisidee habe
> ich nicht. Wenn man x:= [mm]a_{n}[/mm] setzt, dann ist ja
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] x = [mm]\infty.[/mm] Somit muss ja auch
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n})[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = a gelten. Aber irgendwie
> ist das dann doch zu einfach gedacht. Stimmt diese
> Überlegung?
Wie immer brauchst Du Definitionen ! Z.B. diese:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] $ f(x) existiert [mm] \gdw [/mm] es ex. ein c [mm] \in \IR [/mm] mit:
zu jedem [mm] \varepsilon> [/mm] 0 gibt es ein [mm] x_{ \varepsilon} [/mm] >0 so, dass $|f(x)-c|< [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle x [mm] \ge x_{ \varepsilon}.
[/mm]
In diesem Fall ist c eindeutig bestimmt und man setzt: $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) :=c$
So, jetzt hast Du nach Vor. $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n}) [/mm] $ = a für eine Folge $ [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ in $ [mm] \IR [/mm] $ mit $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] $ = $ [mm] \infty [/mm] $
Zeige nun: a=c.
FRED
>
> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke dir. Die Definition für den Grenzwert einer Funktion ist mir in deiner Form oben neu. Wir hatten es so nur bei Folgen definiert, wobei das natürlich klar sein sollte...
Nun gut ich habe jetzt folgendes:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n}) [/mm] = a [mm] \Rightarrow \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] n' [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] n': [mm] |f(a_{n}) [/mm] - a| < [mm] \epsilon
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \infty \Rightarrow \exists [/mm] n'' [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] n'': [mm] a_{n} [/mm] > [mm] x_{\epsilon}. [/mm] Wähle N:= max{n', n''}. Dann gilt für alle n [mm] \ge [/mm] N: [mm] |f(a_{n}) [/mm] -a | [mm] \wedge [/mm] |f(x) - c | < [mm] \epsilon \Rightarrow [/mm] a = c.
Ist das so richtig?
LG Loriot95
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Hallo Loriot,
> Danke dir. Die Definition für den Grenzwert einer Funktion
> ist mir in deiner Form oben neu. Wir hatten es so nur bei
> Folgen definiert, wobei das natürlich klar sein sollte...
>
> Nun gut ich habe jetzt folgendes:
Nimm anfangs ein festes [mm] \varepsilon: [/mm] Sei [mm] \varepsilon>0.
[/mm]
Wegen [mm] c=\lim_{x\to\infty}f(x) [/mm] gibt es [mm] x_{ \varepsilon}>0 [/mm] mit |f(x)-c|< [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] x\ge x_{ \varepsilon} [/mm] (*)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n})[/mm] = a [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\exists[/mm] n' [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] n': [mm]|f(a_{n})[/mm] - a| < [mm]\epsilon[/mm] (**)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = [mm]\infty \Rightarrow \exists[/mm] n'' [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] n'': [mm]a_{n}[/mm] > [mm]x_{\epsilon}.[/mm] (***)
> Wähle N:= max{n', n''}.
> Dann gilt für alle n [mm]\ge[/mm] N: [mm]|f(a_{n})[/mm] -a | [mm]\wedge[/mm] |f(x) - c | < [mm]\epsilon \Rightarrow[/mm] a = c.
Vermutlich meinst du das richtige, aber so ist es unpräzise.
Wegen (*),(***) gilt für [mm] n\geq [/mm] N:
[mm] \qquad $|f(a_n)-c|<\varepsilon$
[/mm]
Zusammen mit (**) folgt nun für [mm] n\geq [/mm] N:
[mm] \qquad $|a-c|=|a-f(a_n)+f(a_n)-c|\leq |f(a_n)-a|+|f(a_n)-c|<2\varepsilon$
[/mm]
Aus der Beliebigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] folgt a-c=0 [mm] \gdw [/mm] a=c
>
> Ist das so richtig?
>
> LG Loriot95
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm ok. Du hast also am Schluss noch gezeigt, das der Unterschied zwischen a und c beliebig klein ist und somit a = c gelten muss. Ok.
Danke euch beiden :)
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mi 30.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke dir. Die Definition für den Grenzwert einer Funktion
> ist mir in deiner Form oben neu.
Vielleicht hattet Ihr diese Def.:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] existiert : [mm] \gdw [/mm] für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n \to \infty [/mm] ex. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n).
[/mm]
In diesem Fall konvergiert jede der Folgen [mm] (f(x_n)) [/mm] gegen ein und denselben Grenzwert und Deine Aufgabe ist fast trivial.
FRED
> Wir hatten es so nur bei
> Folgen definiert, wobei das natürlich klar sein sollte...
>
> Nun gut ich habe jetzt folgendes:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n})[/mm] = a [mm]\Rightarrow \forall \epsilon[/mm]
> > 0 [mm]\exists[/mm] n' [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] n': [mm]|f(a_{n})[/mm] - a| < [mm]\epsilon[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = [mm]\infty \Rightarrow \exists[/mm]
> n'' [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] n'': [mm]a_{n}[/mm] > [mm]x_{\epsilon}.[/mm] Wähle N:=
> max{n', n''}. Dann gilt für alle n [mm]\ge[/mm] N: [mm]|f(a_{n})[/mm] -a |
> [mm]\wedge[/mm] |f(x) - c | < [mm]\epsilon \Rightarrow[/mm] a = c.
>
> Ist das so richtig?
>
> LG Loriot95
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ja, die hatten wir.
LG Loriot95
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