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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Di 25.04.2006 | | Autor: | AundB |
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Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (an) mit n aus N, falls:
an := n! / [mm] n^n [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe mir jetzt überlegt das ich n=1 setze und habe dann eingesetzt:
a1 = 1! / [mm] 1^1 [/mm]
= lim an=1 mit n-> unendlich
weil das müsste ja eigentlich das kleinste sein oder? bitte nicht den kopf abreisen falls es total banane ist.
Lieben Gruß A
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Di 25.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo AundB,
wenigsten A oder B sollte man den Kopf wenigstens rütteln.
a1 hat mit nem Grenzwert eigentlich nie was zu tun. die ersten paar Millionen Glieder einer Folge sind für den GW einfach egal!
und was soll es bedeuten, a1 ist das kleinste?
Du sollst doch n immer größer werden lassen in Gedanken, und dabei das Verhalten von an ansehen, wird es immer größßer, wird es immer kleiner, wächst es ins unermessliche oder geht es gegen 7 oder gegen 1 oder gegen 0
Wenn man eins von denen vermutet, muss man es noch beweisen. Wobei man vorraussetzen darf, dass wenn n gegen unendlich geht, geht 1/n gegen Null. (Archimedes Axiom)
Wenn man keine Ahnung hat, rechnet man mal die ersten paar Glieder aus also z.Bsp bis a7 oder so!
Gruss leduart
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Ok, langsam versteh ichs. also ich muss das jetzt mehrmal machen, das was ich mit a1 gemacht habe, wie du sagtest z.B. bis a7 und wenn dann a7 auch gegen null geht habe ich das bewiesen? hab ich das richtig verstanden? aufgeschrieben müsste es doch dann eigentlich lim(an) = 0 oder?
Danke für deine Hilfe!
Gruß A!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 Di 25.04.2006 | | Autor: | AundB |
Die Antwort war von mir, irgendwie spinnen die PCs von mir und meiner Schwester seid sie verbunden sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 Mi 26.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo A oder B
NEIN so hab ich das nicht gemeint! nur kriegt man oft das richtige "gefühl" wohin etwas konvergiert wenn man die ersten Paar anschaut:
Du hast jetzt wenigsten richtig, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}an=0
[/mm]
Aber das ist nur ein "Gefühl", kein Beweis!
Du musst zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein N finden, so dass für alle n die größer als N sind gilt: [mm] an<\varepsilon
[/mm]
oder du musst zeigen, dass an ab irgendeinem n kleiner 1/n ist.
Konvergenz kann man nur beweisen, nie ausrechnen! Aber ihr müsst doch auch schon irgendwelche Konvergenzbeweise gemacht haben! Guck da mal nach!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mi 26.04.2006 | | Autor: | AundB |
Hallo!
Ja, wir haben auch schon Grenzwerte bestimmt. Das hab ich auc eigentlich verstanden. Nur jetzt haben wir das erste mal eine Fakultät im Zähler und [mm] n^n [/mm] im Nenner. Finde nirgends etwas darüber wie ich eine Grenzwert damit bestimme.
Gruß A
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Hallo A!
Zerlege den Folgenausdruck, sprich den Bruch:
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n!}{n^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{1*2*3*...*n}^{\text{n Faktoren}}}{\underbrace{n*n*n*...*n}_{\text{n Faktoren}}} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{1}{n}*\bruch{2}{n}*\bruch{3}{n}*...*\bruch{n}{n}}_{\text{n Faktoren}}$
[/mm]
Und nun die Brüche einzeln betrachten und die Grenzwertsätze anwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Mi 26.04.2006 | | Autor: | AundB |
Achso, hab ich gemacht:
Ich muss zeigen dass [1/n] < e das soll diese andere e sein
da n aus natürlichen zahlen gilt auch:
1/n<e
n>1/e also ist 1/n eine Nullfolge.
[2/n] < e
2/n<e
n>2/e 2/n Ist Nullfogle
,....
[n/n]<e
n/n<e
n>n/e also n/n ist eine Nullfolge
kann ich jetzt sagen das [mm] n!/n^n [/mm] eine Nullfolge ist und das gilt lim [mm] a_n [/mm] = 0?
Gruß A
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Es reicht mE, dass beim "Auseinanderziehen" einmal der Term 1/n aufgetaucht wird; das strebt gegen 0 und damit alles, was damit multipliziert wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Mi 26.04.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Nicolai!
> Es reicht mE, dass beim "Auseinanderziehen" einmal der Term
> 1/n aufgetaucht wird; das strebt gegen 0 und damit alles,
> was damit multipliziert wird.
Das gilt aber auch nur dann, wenn alle anderen Faktoren (hier alle anderen Brüche) ebenfalls konvergieren; also " $\ < \ [mm] \infty$ [/mm] ".
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Mi 26.04.2006 | | Autor: | AundB |
Achso, ok gut. Aber es ist ja besser wenn ich zu viel mach als zu wenig.
Danke für eure Hilfe!
Lieben Gruß A!
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