Grenzwerte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Dummy86 |
| Aufgabe | Man untersuche, ob folgende Grenzwerte existieren( auch uneigentlich) und berechne diese gegebenenfalss
$ [mm] a)\limes_{x\rightarrow 1} [/mm] $ $ [mm] \bruch {(x^3+2x^2-10x+7)}{x-1} [/mm] $
$ [mm] b)\limes_{x\rightarrow 0} [/mm] $ ($ [mm] \bruch {(exp(2z)-1)}{2z^2} [/mm] $ - $ [mm] \bruch [/mm] {1}{z} $)
$ [mm] c)\limes_{x\uparrow 0} [/mm] $ $ [mm] \bruch [/mm] {[x]}{x} $
$ [mm] d)\limes_{x\rightarrow\infinty} [/mm] $ $ [mm] \bruch {x^{[x]}}{exp(x)} [/mm] $ |
Kann mir einer helfen wie dass geht, also grenzwert bestimmen ist kein problem, aber wie überprüfe ich ob folgende grenzwetre existieren? hat das was mit stetigkeit zu tun?
|
|
| |
|
Hallo,
ich erlaube mir das ganze mal ein wenig informell zu umreißen.
Du kennst ja bestimmt die Definition des Grenzwertes. Ich nehme mal, dass dies hier keine Topo-Aufgabe ist, und man den Grenzwert nicht Topologisch, sondern per für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] existiert ... und soweiter definiert habt.
Desweiteren soll überprüft werden, ob es auch uneigentliche Grenzwerte sind. Also wenn ich mich jetzt nicht ganz irre, dürfte damit gemeint sein, dass es nach [mm] $+\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] divergiert. Also soll man rausfinden ob [mm] $\lim\ldots\in\IR\cup\{\pm\infty\}$. [/mm] Dazu reicht es ja die Definition einzusetzen. Mit dem einzigen Unterschied, dass man die Divergenz nach [mm] $\pm\infty$ [/mm] speziell behandeln sollte, da die reellen Zahlen nicht [mm] $\pm\infty$ [/mm] beinhalten. Im Prinzip soll man also nur überprüfen ob es überhaupt gegen einen "Wert" läuft und nicht zwischen Werten "hin und her springt". Zum Beispiel wie bei der [mm] $\sin$-Funktion.
[/mm]
--
Gruß
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Dummy86 |
Das war mir klar.
aber wie zeige ich das genau!
könnte mir das mal einer genau an der aufgabe b) vllt zeigen, bei der es auch heißen muss z [mm] \to [/mm] 0 nicht x [mm] \to [/mm] 0
und bei der d) muss es heißen x [mm] \to \infty
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Mi 13.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
In c) die Reihe statt [mm] e^{2z} [/mm] hinschreiben, dann für alle [mm] z\ne [/mm] 0 durch z teilen, dann |z| beliebig klein und sehen was sich ergibt!
ebenso für alle anderen, durch den Nenner dividieren, dann GW bestimmen und mit [mm] \varepsilon>0 [/mm] argumentieren.
Mach nen Vorschlag, dann können wir ja korrigieren, wenn du noch unsicher bist!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Do 14.12.2006 | | Autor: | Dummy86 |
wenn ich es mit deinem tipp mache komme ich auf
[mm](\bruch {e^{2z-1}} {2z^2})[/mm] - [mm] \bruch {1} {z}[/mm]
= [mm](\bruch {e^{z^2}-1} {2z^2})[/mm] - [mm] \bruch {1} {z}[/mm]
= [mm](\bruch {z^2 (\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch {1}{k!}))-1} {2z^2})[/mm] - [mm] \bruch {1} {z}[/mm]
aber wie mache ich jetzt weiter ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Do 14.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> wenn ich es mit deinem tipp mache komme ich auf
>
> [mm](\bruch {e^{2z-1}} {2z^2})[/mm] - [mm]\bruch {1} {z}[/mm]
>
> = [mm](\bruch {e^{z^2}-1} {2z^2})[/mm] - [mm]\bruch {1} {z}[/mm]
falsch, [mm] e^{2z}\ne e^{z^2} [/mm] weil [mm] 2z\ne z^2
[/mm]
> = [mm](\bruch {z^2 (\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch {1}{k!}))-1} {2z^2})[/mm]
das ist weder die Reihe für [mm] e^{z^2} [/mm] noch für [mm] e^{2z} [/mm] sondern [mm] z^2*(e-1)
[/mm]
> - [mm]\bruch {1} {z}[/mm]
Falls du die Reihe richtig hingeschrieben hast, ziehe 1 ab (damit fängt die Reihe an) dann dividier jedes Glied durch [mm] z^2, [/mm] dann zieh 1/z ab, dann sieh dir was übrig bleibt gut an!
Gruss leduart
|
|
|
|
