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| Aufgabe | Berechenn sie folgende Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow +\infty} \bruch{5+e^{-x²}}{x^{4}}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(x^{5})}{tan(3x)}
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x}+e^{-x}-2}{1-cos(x)}
[/mm]
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Also zu a) dachte ich mir folgendes:
Da die e funftion schneller steigt als die [mm] x^4 [/mm] hat die funktion keinen grenzwert, anders gesagt sie geht gegen unendlich
zu b) die sinusfunktion wird für kleine werte noch kleiner! die tangensfunktion ist bei dem gleichen x wert aber größer! d.h. sie geht gegen 0!
zu c) die - 2 und 1 kann man beim betrachten weglassen, da sie nur ganz minimal was ausmachen! aber weiter weis ich dort nicht!
Kann mir jemand helfen? Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Sa 27.01.2007 | | Autor: | KaiTracid |
also bei a) und b) bin ich mir immer noch nicht sicher! s.o.
zu c) denk ich mir des jetzt so: wenn man cos(x) gegen 0 laufen lässt, dann geht dies ja gegen 1! aber 1-1 wäre ja null und durch null kann man ja nicht teilen?!
kann mir jemand weiterhelfen bei den aufgaben?
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> Berechenn sie folgende Grenzwerte:
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> a) [mm]\limes_{x\rightarrow +\infty} \bruch{5+e^{-x²}}{x^{4}}[/mm]
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> b) [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(x^{5})}{tan(3x)}[/mm]
>
> c) [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x}+e^{-x}-2}{1-cos(x)}[/mm]
>
>
> Also zu a) dachte ich mir folgendes:
>
> Da die e funftion schneller steigt als die [mm]x^4[/mm] hat die
> funktion keinen grenzwert, anders gesagt sie geht gegen
> unendlich
Hallo,
hast Du berücksichtigt, daß Du es hier mit [mm] e^{-x²} [/mm] zu tun hast? Eher nicht.
Deine nächsten Begründungen sind mir etwas zu - unbegründet...
>
> zu b) die sinusfunktion wird für kleine werte noch kleiner!
> die tangensfunktion ist bei dem gleichen x wert aber
> größer! d.h. sie geht gegen 0!
Du hast Du es hier aber mit [mm] sin(x^5) [/mm] und tan(3x) zu tun, so daß mir Deine Begründung nicht sofort plausibel ist, und das muß sie für Übung und Klausur sein.
>
> zu c) die - 2 und 1 kann man beim betrachten weglassen, da
> sie nur ganz minimal was ausmachen! aber weiter weis ich
> dort nicht!
Bei b) und c) bringt Dich l'Hospital weiter.
Gruß v. Angela
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also zu c) mal: mit dem Satz von L`Hospital leite ich das obere und das untere ab
--> [mm] \limes_{x\rightarrow\x0} \bruch{e^{x}-e^{-x}}{sin(x)}
[/mm]
aber wie dann weiter?
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> also zu c) mal: mit dem Satz von L'Hospital leite ich das
> obere und das untere ab
>
> --> [mm]\limes_{x\rightarrow\x0} \bruch{e^{x}-e^{-x}}{sin(x)}[/mm]
>
> aber wie dann weiter?
nochmal!
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also wenn ich das nochmal ableite kommt ja dies hier raus:
[mm] \bruch{e^x + e^(-x)}{cosx}
[/mm]
cos x geht ja jetzt egegn 1 für x->0
[mm] e^x [/mm] geht auch gegen 1
bei e^-x weis ich nicht genau gegen was?! wie bekommt man sowas raus?
da kein teil mehr 0 wird muss ich ja nicht nochmal den l´hospital anwenden! oder?!
da ich jetzt nicht genau weis wie sich e^-x verhält für x->0 weis ich jetzt nicht genau weiter!
ohne e^-x würde der limes ja 1 sein, wegen 1/1
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Mal eine bescheidene Frage: was ist [mm] e^{-0}? [/mm] Wohl dasselbe wie [mm] e^0...
[/mm]
Gruß v. Angela
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ähm klar natürlich! uups!
hab ich mal wieder zu weit gedacht!
das würde dann ja heisen, da beides gegen 1 geht und addiert werden, das ganze gegen 2 geht, d.h. limes =2?!
weil cosx geht ja gegen 1 für x gegen 0
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> das würde dann ja heisen, da beides gegen 1 geht und
> addiert werden, das ganze gegen 2 geht, d.h. limes =2?!
> weil cosx geht ja gegen 1 für x gegen 0
Diese Rechnung kann ich verstehen.
Gruß v. Angela
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ok vielen dank!
ein weiteres problem ist grad tangens ab zu leiten! also bei b)
[mm] sin(x^{5}) [/mm] ist ja abgeleitet: [mm] cos(x^{5}) *5x^4, [/mm] da für x->0 noch null rauskommt muss ich des noch weiter ableiten!
mein problem ist jetzt aber wei des beim tangens funtioniert?!
ich habs schon versucht indem ich für tanx dies hier : sinx/cosx genommen habe! aber komm damit nicht richtig weiter?!
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> ein weiteres problem ist grad tangens ab zu leiten! also
> bei b)
>
> [mm]sin(x^{5})[/mm] ist ja abgeleitet: [mm]cos(x^{5}) *5x^4,[/mm] da für x->0
> noch null rauskommt muss ich des noch weiter ableiten!
Das ist noch nicht gesagt, kommt darauf an was (tan(3x))' ergibt. Wenn da z.B =7 herauskommt, bist du fertig.
>
> mein problem ist jetzt aber wei des beim tangens
> funtioniert?!
>
> ich habs schon versucht indem ich für tanx dies hier :
> sinx/cosx genommen habe! aber komm damit nicht richtig
> weiter?!
Wenn Du den tangens ableiten willst, hast du mindestens drei Möglichkeiten.
1. Du hast es im Kopf. Das scheint nicht der Fall zu sein.
2. Formelsammlung.
3. Deine Idee weiterverfolgen: f(x)=sinx/cosx nach der Quotientenregel ableiten, oder mit [mm] (...)^{-1} [/mm] umschreiben und Produktregel. Daß Du die beherrscht, hast Du ja im anderen Thread gezeigt!
Wenn Du die Ableitung von tanx hat, bekommst Du die von tan(3x) sehr einfach mit der Kettenregel.
Gruß v. Angela
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also die ableitung von tangens ist ja 1/(cosx)²
wenn ich nun meine funktion ableite, dann kommt doch dies hier raus:
[mm] \bruch{cos(x^5)5x^4}{1/(cosx)²*3}
[/mm]
oder ist da ein fehler drin? bin nämlich nicht sicher ob des mit dem tangesn so stimmt?!
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> also die ableitung von tangens ist ja 1/(cosx)²
>
> wenn ich nun meine funktion ableite, dann kommt doch dies
> hier raus:
> [mm]\bruch{cos(x^5)5x^4}{1/(cosx)²*3}[/mm]
>
> oder ist da ein fehler drin? bin nämlich nicht sicher ob
> des mit dem tangesn so stimmt?!
Fast richtig.
Es muß natürlich [mm] \bruch{cos(x^5)5x^4}{1/(cos^2(3x)*3} [/mm] heißen.
Gruß v. Angela
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klar stimmt!
das unter dem bruch geht ja dann gegen 3, das obere ist null! d.h. der grenzwert ist null!
ist das richtig so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Sa 27.01.2007 | | Autor: | KaiTracid |
nicht 3 sondern 1/3
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> nicht 3 sondern 1/3
Doch 3. Der Nenner --> 3.
Gruß v. Angela
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> klar stimmt!
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> das unter dem bruch geht ja dann gegen 3, das obere ist
> null! d.h. der grenzwert ist null!
>
> ist das richtig so?
Ja.
Gruß v. Angela
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wie fängt man den bei a) an?
kann mir da jemand nen tip geben?
ich hatte mir des so gedacht:
[mm] e^{-x²} [/mm] ist doch für (+) unendlich ja auch positiv wegen dem hoch 2?!
dann kann man ja auch den L´hospital anwenden, weil ja beides gegen undendlich geht!
d.h. [mm] \bruch{-e^{-x²}}{4x^3}
[/mm]
jetzt ists ja dann aber so, dass des obere gegen (-) unendlich geht?!
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> wie fängt man den bei a) an?
> kann mir da jemand nen tip geben?
>
> ich hatte mir des so gedacht:
> [mm]e^{-x²}[/mm] ist doch für (+) unendlich ja auch positiv wegen
> dem hoch 2?!
[mm] e^{irgendwas} [/mm] ist immer positiv. Hast Du Dir die e-Funktion schonmal angeschaut?
[mm] e^{-x^2}=\bruch{1}{e^{x^2}}.
[/mm]
Wenn nun x --> [mm] \infty, [/mm] dann geht [mm] x^2 [/mm] --> [mm] \infty, e^{x^2}--> [/mm] ?? und folglich [mm] \bruch{1}{e^{x^2}} [/mm] --> ....
Somit geht der Zähler Deines Ausdruckes gegen ???.
Wenn nun der Nenner entsetzlich groß wird, bleibt dem geammten Bruch nichts anders übrig, als ???
Gruß v. Angela
>
> dann kann man ja auch den L´hospital anwenden, weil ja
> beides gegen undendlich geht!
>
> d.h. [mm]\bruch{-e^{-x²}}{4x^3}[/mm]
>
> jetzt ists ja dann aber so, dass des obere gegen (-)
> unendlich geht?!
>
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also [mm] e^{x²} [/mm] geht für x->unendlich gegen unendlich
1 durch diesen ausdruck würde ja dann gegen null gehen!
meine funktion ist ja [mm] \bruch{5+e^{-x²}}{x^4}
[/mm]
d.h. mein Zähler geht gegen 5 und mein nenner gegen unendlich!
d.h. mein bruch geht gegen 0
ist das besser so?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Sa 27.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja jetzt ist es richtig.
Braucht ihr keinen expliziten Konvergenzbeweis?
Gruss leduart
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