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Ich habe diese Folge gegeben:
[mm] (1-(1-1/n)^{5}) [/mm] / [mm] (1-(1-1/n)^{2})
[/mm]
Nenner und Zähler sehen praktisch gleich aus, abgesehen von der Potenz. Ich habe mir überlegt, dass Nenner und Zähler nach 0 konvergieren. Allerdings konvergiert der Zähler schneller gegen o als der Nenner. Das lässt sich ganz leicht mit den ersten drei Zahlenfolgegliedern erkennen.
Bildet man davon jetzt den Grenzwert, so kommt man ja auf unendlich. Wenn ich mich nicht irre, geht die Folge aber nach - [mm] \infty
[/mm]
Kann mir das jemand erklären?
Dann habe ich eine weitere Folge, bei der der Zähler gegen 2 konvergiert und der Nenner gegen 0. Gibt es dahingehend eine festgeschriebene Regel oder sonstiges, so dass die gesamte Folge gegen [mm] \infty [/mm] strebt?
Eine dritte Zahlenfolge besteht aus einem Produkt, wobei der erste Faktor divergent [mm] (-1)^n [/mm] ist und der zweite Faktor eine Nullfolge ist [mm] (n^{2}/2^{n}). [/mm] Wie kann ich das logisch aufschreiben oder begründen, dass dann die Folge nach 0 strebt oder ist das falsch?
Danke für eure Hilfe!
mfg Conny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Di 09.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Conny!
> Ich habe diese Folge gegeben:
> [mm](1-(1-1/n)^{5})[/mm] / [mm](1-(1-1/n)^{2})
[/mm]
> Nenner und Zähler sehen praktisch gleich aus, abgesehen
> von der Potenz. Ich habe mir überlegt, dass Nenner und
> Zähler nach 0 konvergieren. Allerdings konvergiert der
> Zähler schneller gegen o als der Nenner. Das lässt sich
> ganz leicht mit den ersten drei Zahlenfolgegliedern
> erkennen.
> Bildet man davon jetzt den Grenzwert, so kommt man ja auf
> unendlich. Wenn ich mich nicht irre, geht die Folge aber
> nach - [mm]\infty
[/mm]
Ich habe als Grenzwert [mm] \bruch{5}{2} [/mm] raus.
Und zwar habe ich es so gemacht: Im Zähler und Nenner habe ich [mm] $x:=1-\bruch{1}{n}$ [/mm] substituiert und erhalte so den Bruch
[mm] $\bruch{1-x^5}{1-x^2}=\bruch{x^5-1}{x^2-1}$
[/mm]
Nun kann man darauf sehr einfach  Polynomdivision anwenden und erhält:
[mm] $=x^3+x+\bruch{x-1}{x^2-1}=x^3+x+\bruch{1}{x+1}$
[/mm]
Die Resubstitution liefert nun mit den Grenzwertsätzen das obige Ergebnis.
> Dann habe ich eine weitere Folge, bei der der Zähler gegen
> 2 konvergiert und der Nenner gegen 0. Gibt es dahingehend
> eine festgeschriebene Regel oder sonstiges, so dass die
> gesamte Folge gegen [mm]\infty[/mm] strebt?
Ja, man kann allgemein zeigen, dass
[mm] $\limes_{n\to\infty} a_0=0$ $\gdw$ $\left(\bruch{1}{a_n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] nach oben unbeschränkt
bzw.
[mm] $\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{a_0}=0$ $\gdw$ $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] nach oben unbeschränkt
> Eine dritte Zahlenfolge besteht aus einem Produkt, wobei
> der erste Faktor divergent [mm](-1)^n[/mm] ist und der zweite Faktor
> eine Nullfolge ist [mm](n^{2}/2^{n}).[/mm] Wie kann ich das logisch
> aufschreiben oder begründen, dass dann die Folge nach 0
> strebt oder ist das falsch?
Das Resultat ist richtig.
Mir fällt jetzt auch nur das [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] ein, um allgemein zu zeigen:
[mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] Nullfolge [mm] $\gdw$ $((-1)^n*a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist Nullfolge
Viele Grüße,
Marc
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Danke dir!
Ich habe meinen Fehler bei der ersten Aufgabe gefunden! Komme jetzt auch auf die 5/2
mfg Conny
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Ich habe noch eine Aufgabe, bei der ich noch nicht ganz durchsehe.
Produkt aus (1-1/k²) von k=2 bis n
Habe das Zeichen für Produkt nicht gefunden. Die Zahl an sich wird immer kleiner und tendiert, glaub ich, zu Null. Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob die Folge auch gegen Null konvergiert??? Oder ob das divergent ist. Mich irritiert halt das Produkt, weil ich damit noch nicht viel Umgang hatte.
mfg Conny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Di 09.11.2004 | | Autor: | zwerg |
moin sunny!
P(2,n) stehe für das Produktzeichen 2,n die Grenzen
somit die Aufgabe:
P(2,n)(1- [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] )
(1- [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] )= (1+1/k)(1-1/k) [mm] \to
[/mm]
P(2,n) (1- [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] )= P(2,n) (1+1/k)(1-1/k) =
= P(2,n)(1+1/k)*P(2,n)(1-1/k)
behandle die beiden P(2,n) getrennt
schreib dir die esten Terme auf was kürzt sich weg??
[mm] \to
[/mm]
p(2,n)(1+1/k) = 1/2(n+1)
P(2,n)(1-1/k) = 1/n
[mm] \to
[/mm]
(1- [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] ) = 1/2 (1+1/n)
hoffe es funktioniert nun
die genaue Herleitung des Ergebnisses mußt du schon noch selbst machen
MfG Zwerg
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hi!
ich muss auch die aufgabe lösen, aber irgendwie komm ich nicht auf:
p(2,n)(1+1/k) = 1/2(n+1)
P(2,n)(1-1/k) = 1/n
ich sitz nun schon über 2 stunden an dem schritt, aber weiß nicht wie du darauf gekommen bist. kannst du mirs noch mal erklären? bitte! wär mir wichtig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Mi 10.11.2004 | | Autor: | zwerg |
moin sunny!
Vielleicht hilft dir das weiter
P(2,n) (1+1/k) = P(2,n) [mm] (\bruch{k+1}{k} [/mm] ) =
= 3/2 * 4/3 *...*n/n-1 * n+1/n
wie du siehst kürzen sich Zähler und Nenner einiger Faktoren und einzig
1/2(n+1) bleibt stehen.
und bei P(2,n) (1-1/k) läuft das Ganze analog
(1-1/k)=(k-1/k)
MfG zwerg
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