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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 So 06.11.2011 | | Autor: | Madila |
Hallo Leute :)
Ich sitze gerade an meinen Unihausaufgaben und bräuchte dazu mal einmal eure Rückmeldung. Wir sollen den Grenzwert von folgendem berechnen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n+5]{(2n+6)^{2}}*(1+\bruch{1}{2n+3})^{n+5}}{(\wurzel[n]{3})^{3n+1}+0,4^{\wurzel{3}+1}}
[/mm]
Ich wusste nicht, wie ich hier rangehen soll, daher habe ich mir diesen imprinzip erst einmal zerlegt...
Für [mm] \wurzel[n+5]{(2n+6)^{2}} [/mm] habe ich die erstmal als [mm] ((2n+6)^{2})^{\bruch{1}{n+5}} [/mm] geschrieben. Nun war ich mir nicht sicher...ich möchte ja imprinzip sowas rausbekommen, dass [mm] \wurzel[n]{n}=1 [/mm] gilt. Kann ich mit diesem Teil daher folgendermaßen fortfahren: [mm] ((2n+6)^{2})^{\bruch{1}{(2n+6)^{2}}*{\bruch{(2n+6)^{2}}{n+5}}}= \wurzel[(2n+6)^{2}]{(2n+6)^{2}}^{\bruch{(2n+6)^{2}}{n+5}}, [/mm] wenn ich nun im Exponenten die bin. Formel auflöse und ausklammer und das Grenzwertverhalten betrachte, dann erhalte ich für diesen Teil: [mm] \wurzel[(2n+6)^{2}]{(2n+6)^{2}}^{\bruch{n*4}{1}}. [/mm] Wenn ich nun im Exponenten durch n teile, dann erhalte ich(bei Beachtung des Grenzwertverhaltens erhalte ich dann im Exponenten 1 und somit für diesen ganzen Abschnitt den Grenzwert 1.
Ist das soweit korrekt oder habe ich mal wieder irgendwo einen Denkfehler drin?
Den zweiten bschnitt löse ich ja mit dem Ziel auf [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}. [/mm]
Somit erhalte ich nach auflösen und im Exponenten wieder durch n dividieren [mm] e^{2}.Die [/mm] Schritte sind ja imprinzip gleich mit denen von vorher...man schreibt erst hin, was man gerne erhalten würde und dann multipliziert man mit dem, sodass das von vorher wieder rauskommt quasi.
Der 3. Abschnitt veränder ich so, dass ich irgendwann auf [mm] \wurzel[n]{C}=1
[/mm]
Schreibt man die Wurzel in Exponentialschreibweise, so kann man die beiden Exponenten multiplizieren und erhält dann: [mm] 3^{3+\bruch{1}{n}} [/mm] und wenn man nun das Grenzwertverhalten betrachtet erhält man ja [mm] 3^{3}.
[/mm]
Habe ich bisher richtig gedacht, oder habe ich wiedermal irgendetwas komplett verdreht?:P
Das größte Problem macht mir nun aber der letzte Abschnitt. Wie bekomme ich da die Wurzel aus dem Exponenten? Kann ich den Exponenten einfach mit [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] multiplizieren, sodass ich dann im Exponenten eine 1 stehen habe?
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen, da ich wirklich schon sehr lange, wie man denke ich sieht, an der Aufgabe festsitze...
Liebe Grüße und ein schönen Sonntag :)
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Hallo Madila,
der Aufgabensteller hat offensichtlich ein ziemlich großes und defektes Waffeleisen.
> Ich sitze gerade an meinen Unihausaufgaben und bräuchte
> dazu mal einmal eure Rückmeldung. Wir sollen den Grenzwert
> von folgendem berechnen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n+5]{(2n+6)^{2}}*(1+\bruch{1}{2n+3})^{n+5}}{(\wurzel[n]{3})^{3n+1}+0,4^{\wurzel{3}+1}}[/mm]
Toll. Noch 22 weitere Terme hätten aber bestimmt auch nicht geschadet. Soll ja schließlich eine Übungsaufgabe sein...
> Ich wusste nicht, wie ich hier rangehen soll, daher habe
> ich mir diesen imprinzip erst einmal zerlegt...
Seeehr gute Idee!
> Für [mm]\wurzel[n+5]{(2n+6)^{2}}[/mm] habe ich die erstmal als
> [mm]((2n+6)^{2})^{\bruch{1}{n+5}}[/mm] geschrieben. Nun war ich mir
> nicht sicher...ich möchte ja imprinzip sowas rausbekommen,
> dass [mm]\wurzel[n]{n}=1[/mm] gilt. Kann ich mit diesem Teil daher
> folgendermaßen fortfahren:
> [mm]((2n+6)^{2})^{\bruch{1}{(2n+6)^{2}}*{\bruch{(2n+6)^{2}}{n+5}}}= \wurzel[(2n+6)^{2}]{(2n+6)^{2}}^{\bruch{(2n+6)^{2}}{n+5}},[/mm]
Bis hierhin kann ich Dir folgen.
> wenn ich nun im Exponenten die bin. Formel auflöse und
> ausklammer und das Grenzwertverhalten betrachte, dann
> erhalte ich für diesen Teil:
> [mm]\wurzel[(2n+6)^{2}]{(2n+6)^{2}}^{\bruch{n*4}{1}}.[/mm]
Das verstehe ich nicht.
> Wenn ich
> nun im Exponenten durch n teile, dann erhalte ich(bei
> Beachtung des Grenzwertverhaltens erhalte ich dann im
> Exponenten 1 und somit für diesen ganzen Abschnitt den
> Grenzwert 1.
Hm. Der Weg ist ein bisschen kraus, das Ergebnis aber richtig.
> Ist das soweit korrekt oder habe ich mal wieder irgendwo
> einen Denkfehler drin?
Ich kanns nicht nachvollziehen, aber es sieht nicht gut aus.
> Den zweiten bschnitt löse ich ja mit dem Ziel auf
> [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}.[/mm]
> Somit erhalte ich nach auflösen und im Exponenten wieder
> durch n dividieren [mm]e^{2}.Die[/mm] Schritte sind ja imprinzip
> gleich mit denen von vorher...man schreibt erst hin, was
> man gerne erhalten würde und dann multipliziert man mit
> dem, sodass das von vorher wieder rauskommt quasi.
Hm. Nur bekomme ich da schließlich [mm] e^{\bruch{1}{2}}=\wurzel{e}.
[/mm]
> Der 3. Abschnitt veränder ich so, dass ich irgendwann auf
> [mm]\wurzel[n]{C}=1[/mm]
> Schreibt man die Wurzel in Exponentialschreibweise, so
> kann man die beiden Exponenten multiplizieren und erhält
> dann: [mm]3^{3+\bruch{1}{n}}[/mm] und wenn man nun das
> Grenzwertverhalten betrachtet erhält man ja [mm]3^{3}.[/mm]
Das ist richtig.
> Habe ich bisher richtig gedacht, oder habe ich wiedermal
> irgendetwas komplett verdreht?:P
>
> Das größte Problem macht mir nun aber der letzte
> Abschnitt. Wie bekomme ich da die Wurzel aus dem
> Exponenten? Kann ich den Exponenten einfach mit
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] multiplizieren, sodass ich dann im
> Exponenten eine 1 stehen habe?
Vielleicht ist oben ja ein Tippfehler. Sollte das unten rechts etwa heißen: [mm] 0,4^{\wurzel{3}\blue{n}+1} [/mm] ?
Dann wäre der Grenzwert dieses Terms 1. Wenn da kein n steht, ergibt sich natürlich gar kein Problem, sondern nur eine krause Zahl.
> Ich würde mich sehr über Hilfe freuen, da ich wirklich
> schon sehr lange, wie man denke ich sieht, an der Aufgabe
> festsitze...
Das glaube ich unbesehen. Sie ist auch einfach unnötig verwurschtelt aufgebaut; was man daran besser lernen können soll als an einer "schönen" Aufgabe, ist mir vollkommen unverständlich. So ist es nur eine unangenehme Arbeitsbeschaffungsmaßnahme. Ich würde mich echt fragen, ob ich eigentlich studiere oder eine Beschäftigungstherapie absolviere.
Die Terme links oben und rechts unten sind besser über Abschätzungen zu klären. Schau mal, ob Du da etwas passendes findest, das Ziel ist ja klar. Rechts oben hast Du noch einen Fehler, und links unten ist so ok.
> Liebe Grüße und ein schönen Sonntag :)
Gleichfalls. Nach dieser Steilvorlage werde ich gleich mal mein Waffeleisen überprüfen. Hoffentlich wirft es nicht genauso verklumptes Zeug aus. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Do 10.11.2011 | | Autor: | Madila |
Hallo reverend,
ich habe mir nun nochmal den 2. und 4. Abschnitt der Formel angeguckt und habe im 2. Abschnitt meinen Fehler gefunden und komme dort nun auch auf [mm] \wurzel{e}.
[/mm]
Meine letzte Frage widmet sich nun dem 4. Abschnitt:
Ja, ich hatte mich vertippt. Der 4. Abschnitt lautet: [mm] 0,4^{\wurzel{n}+1}. [/mm] Wie kann ich dort nun den Grenzwert rausfinden? Ich weiß zwar, dass dieser Verlauf gegen null geht(wenn ich mich nicht täusche), aber wie kann man dies nun formell richtig aufschreiben?
Ich würde mich über einen Tipp oder eine Idee sehr freuen.
Liebe Grüße
Madila
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> Hallo reverend,
>
> ich habe mir nun nochmal den 2. und 4. Abschnitt der Formel
> angeguckt und habe im 2. Abschnitt meinen Fehler gefunden
> und komme dort nun auch auf [mm]\wurzel{e}.[/mm]
>
> Meine letzte Frage widmet sich nun dem 4. Abschnitt:
>
> Ja, ich hatte mich vertippt. Der 4. Abschnitt lautet:
> [mm]0,4^{\wurzel{n}+1}.[/mm] Wie kann ich dort nun den Grenzwert
> rausfinden? Ich weiß zwar, dass dieser Verlauf gegen null
> geht(wenn ich mich nicht täusche), aber wie kann man dies
> nun formell richtig aufschreiben?
Der Exponent strebt gegen unendlich, die Basis ist <1.
Allgemein gilt für 0<a<1
[mm] \lim_{x\to\infty}a^x=0\Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}a^{x_n}=0 [/mm] für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n\to\infty
[/mm]
In deinem fall hast du a=0,4 und [mm] x_n=\wurzel{n}+1
[/mm]
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> Ich würde mich über einen Tipp oder eine Idee sehr
> freuen.
>
> Liebe Grüße
>
> Madila
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