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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwerte
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Grenzwerte: Hi,
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 Fr 01.06.2012
Autor: looney_tune

Aufgabe
a) Zeige, dass für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit IxI < 1

[mm] \bruch{1}{(1-x)^2} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^k [/mm]  und [mm] \bruch{2}{(1-x)^3} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)x^k [/mm]  gilt.

b) Berechen mit Teil a die Grenzwerte von
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2^n} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n} [/mm]

brauche auch hier einige Tipps, weil ich nicht weiß wie ich hier vorgehen soll.

Kann mir jemand helfen?

LG

        
Bezug
Grenzwerte: Potenzreihen integrieren.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Fr 01.06.2012
Autor: Helbig


> a) Zeige, dass für alle x [mm]\in \IR[/mm] mit IxI < 1
>
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^k[/mm]  und
> [mm]\bruch{2}{(1-x)^3}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)x^k[/mm]  
> gilt.

Das muß wohl

[mm]\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n[/mm]  und

[mm]\bruch{2}{(1-x)^3}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)x^n[/mm]

heißen.

Damit hast Du Potenzreihen, die Du gliedweise integrieren kannst.  Im ersten Beispiel einmal, im zweiten zweimal. Die Reihen der Stammfunktionen haben einen bekannten Grenzwert, den differenzierst Du und findest damit die behaupteten Beziehungen.

Versuchs mal...

Gruß,
Wolfgang

Bezug
        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:48 Sa 02.06.2012
Autor: fred97


> a) Zeige, dass für alle x [mm]\in \IR[/mm] mit IxI < 1
>
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^k[/mm]  und
> [mm]\bruch{2}{(1-x)^3}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)x^k[/mm]  
> gilt.
>  
> b) Berechen mit Teil a die Grenzwerte von
>  [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2^n}[/mm] und
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n}[/mm]
>  brauche auch hier
> einige Tipps, weil ich nicht weiß wie ich hier vorgehen
> soll.
>  
> Kann mir jemand helfen?


Für [mm]\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^k[/mm]  berechne das Cauchyprodukt [mm] \sum p_n [/mm] der geometrischen Reihe mit sich selbst.

Für die 2. Behauptung berechne das Cauchyprodukt von [mm] \sum p_n [/mm] und der geometrischen Reihe

FRED

>  
> LG


Bezug
                
Bezug
Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 Sa 02.06.2012
Autor: looney_tune

ok ich habe  es jetzt mal versucht:
für die 1. Behauptung:

[mm] \bruch{1}{(1-x)^2} [/mm] = [mm] (\summe_{n=0}^{\infty} p^n)^2 [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\summe_{k=0}^{n} p^n p^{n-k}) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (p^n \summe_{k=0}^{n} [/mm] 1) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] (n+1) [mm] p^n [/mm]

und für die 2. Behauptung:

[mm] \bruch{1}{(1-x)^2} \bruch{1}{(1-x)} [/mm] = ( [mm] (\summe_{n=0}^{\infty} [/mm] (n+1) [mm] p^n)) [/mm] ( [mm] (\summe_{n=0}^{\infty} p^n)) [/mm]  =  [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] ( [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] (k+1) [mm] p^k p^{n-k}) [/mm] =  [mm] \summe_{n=0}^{\infty}( p^n (\summe_{k=0}^{n} [/mm] ( k+1)) =  [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2} [/mm] (n+1)(n+2) [mm] p^n [/mm]

[mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] (n+1) (n+2) [mm] x^k [/mm] = 2 [mm] (\bruch{1}{(1-x)}^2 \bruch{1}{(1-x)} [/mm] = [mm] \bruch{2}{(1-x)^3} [/mm]

so ich habe es mal so gemacht, stimmt das so?


Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Sa 02.06.2012
Autor: looney_tune

und wie kann ich den mit dem ersten teil die grenzwerte von b berechnen?

Bezug
                                
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 Sa 02.06.2012
Autor: schachuzipus

Hallo,


> und wie kann ich den mit dem ersten teil die grenzwerte von
> b berechnen?

Du musst das nur etwas umformen und in die Form der Reihen in a) bringen.

zB. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2^n}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n+1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)\cdot{}\left(\frac{1}{2}\right)^n[/mm]

Nun scharf auf a) schauen ...

Gruß

schachuzipus


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Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 Sa 02.06.2012
Autor: looney_tune

aber in a ist ja noch ein [mm] x^n [/mm] enthalten, wie mache ich das damit?

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:39 Sa 02.06.2012
Autor: Helbig


> aber in a ist ja noch ein [mm]x^n[/mm] enthalten, wie mache ich das
> damit?

Um a) anzuwenden, setze [mm] $x=\frac [/mm] 1 2$.

Gruß,
Wolfgang


Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 So 03.06.2012
Autor: looney_tune

ich weiß nicht wie ich den Grenzwert berechnen soll?
kann mir jemand weiterhelfen?

Lg

Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 So 03.06.2012
Autor: Marc

Hallo

> ich weiß nicht wie ich den Grenzwert berechnen soll?
>  kann mir jemand weiterhelfen?

Ich fürchte nein, da die Darstellungsmöglichkeiten eines Forums nun ausgeschöpft sind. Es wurde bereits alles gesagt, ich fasse nochmal zusammen:

Du weiß aus Aufgabenteil a): [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)\red{x}^n=\bruch{1}{(1-x)^2}$ [/mm]

Die Reihe, deren Grenzwert du ausrechnen willst: [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)\cdot{}\left(\red{\frac{1}{2}}\right)^n=\ldots$ [/mm]

Viele Grüße
Marc

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Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Sa 02.06.2012
Autor: fred97


> ok ich habe  es jetzt mal versucht:
>  für die 1. Behauptung:
>  
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm] = [mm](\summe_{n=0}^{\infty} p^n)^2[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\summe_{k=0}^{n} p^n p^{n-k})[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (p^n \summe_{k=0}^{n}[/mm] 1) =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] (n+1) [mm]p^n[/mm]
>  
> und für die 2. Behauptung:
>  
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^2} \bruch{1}{(1-x)}[/mm] = (
> [mm](\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] (n+1) [mm]p^n))[/mm] ( [mm](\summe_{n=0}^{\infty} p^n))[/mm]
>  =  [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] ( [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] (k+1) [mm]p^k p^{n-k})[/mm]
> =  [mm]\summe_{n=0}^{\infty}( p^n (\summe_{k=0}^{n}[/mm] ( k+1)) =  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2}[/mm] (n+1)(n+2) [mm]p^n[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}[/mm] (n+1) (n+2) [mm]x^k[/mm] = 2
> [mm](\bruch{1}{(1-x)}^2 \bruch{1}{(1-x)}[/mm] = [mm]\bruch{2}{(1-x)^3}[/mm]
>  
> so ich habe es mal so gemacht, stimmt das so?

Ja, aber warum schreibst Du ständig "p"  ?

FRED

>  


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