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| Aufgabe | | Erkläre die Begriffe [mm] "\varepsilon-Umgebung [U_{\varepsilon}(a)]", [/mm] "Grenzwert der Folge [mm] (a_{n})", [/mm] "konvergent" und "divergent" in eigenen Worten. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Wir müssen die oben genannten Begriffe verstehen und dann auch (gut wäre mit Beispielen) erklären können. Wir haben Definitionen im Mathebuch stehen, aber ich habe immer ein großes Problem damit, das in eigenen Worten zu erklären und außerdem sind die Erklärungen im Mathebuch schwer zu verstehen.
Könntet ihr mir die obigen Begriffe so "einfach" wie es geht erklären (gerne auch mit Beispielen!!).
Ich würde das ungefähr so erklären (Ich habe es aber trotzdem noch nicht richtig verstanden und außerdem sind die folgenden Ausführungen sehr nahe denen des Mathebuchs):
[mm] \varepsilon-Umgebung:
[/mm]
Bei einer [mm] \varepsilon-umgebung [/mm] ist [mm] U_{\varepsilon}(a) [/mm] die Umgebung der Zahl a. a ist der Mittelpunkt. a hat ein Intervall nach links und nach rechts. Der Wert von [mm] \varepsilon [/mm] berechnet sich aus der Entfernung vom Intervall-Ende zum a.
Grenzwert einer Folge:
Der Grenzwert einer Folge liegt in dem Bereich, in dem bei einem [mm] \varepsilon-intervall [/mm] unendlich viele Glieder liegen.
konvergent:
Folge mit Grenzwert
divergent:
Folge ohne Grenzwert
Über Antworten und Verbesserungen sowie Erklärungen und Beispiele würde ich mich SEHR freuen!!
MFG tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Di 11.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tobias!
Diesen Erläuterungen ist m.E. nichts mehr hinzuzufügen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Vielleicht bei "konvergent / divergent" die Erklärung als vollständigen Satz formulieren.
Gruß
Loddar
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Hey 
sowas bekomme ich ja selten zu hören..
Das problem ist jetzt nur, dass ich das, was ich geschrieben habe, nicht wirklich verstehe, denn ich habe eigentlich quasi nur den text aus dem mathebuch umformuliert
=> Also kann mir jemand noch einfacher erklären?? (mit beispielen?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Di 11.09.2007 | | Autor: | holwo |
hallo,
hmmm ok, fangen wir mit [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] an:
Mathematisch werd ichs nicht erklären sondern versuchen es umgangssprachlich zu formulieren
Du wählst ein [mm] \epsilon>0 [/mm] also eine positive zahl, z.b. [mm] \epsilon=3
[/mm]
Die 3-Umgebung eines Punktes a sind alle zahlen zwischen (a-3,a+3).
Also wenn wir die 3-Umgebung des Punktes a=0 wollen, sind das alle Zahlen zwischen (-3,3) also -3<a<3
Da du nur positive [mm] \epsilon-s [/mm] hast, wirst du in der [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] immer unendlich viele Zahlen haben, weil wir von reellen Zahlen reden und sie unendlich sind in jedem intervall. Das gilt, egal wie klein dein [mm] \epsilon [/mm] ist, solange er positiv ist.
Konvergenz:
Nehmen wir eine konvergente folge, z.b. [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] also [mm] 1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},\bruch{1}{4},\bruch{1}{5},\bruch{1}{6},\bruch{1}{7} \dots
[/mm]
Die konvergiert bekanntlich gegen 0.
Eine folge ist nach definition konvergent, wenn zu jedem [mm] \epsilon [/mm] wir ein [mm] n_{0} [/mm] finden können, so dass für alle n [mm] \ge n_{0} [/mm] , sich die Folgenglieder innerhalb der [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] befinden.
Hört sich sehr kompliziert an.. aber:
wählen wir z.b. [mm] \epsilon=6 [/mm] , [mm] \epsilon [/mm] >0 also alles ok
Wir müssen ein [mm] n_{0} [/mm] finden, sodass ab da alle folgenglieder zwischen (0-6,0+6) sind, also zwischen -6 und 6
Nagut, wenn wir [mm] n_{0}=1 [/mm] wählen, dann sind alle folgenglieder zwischen -6 und 6, also klappt. Das sind alle glieder der folge
jetzt wählen wir ein kleineres [mm] \epsilon, [/mm] z.b. [mm] \epsilon=\bruch{1}{3}
[/mm]
Wir müssen ein [mm] n_{0} [/mm] finden, sodass ab da alle folgenmitglieder zwischen [mm] (0-\bruch{1}{3},0+\bruch{1}{3}) [/mm] sind, also zwischen [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] und [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Wenn wir [mm] n_{0}=4 [/mm] wählen, dann sind alle folgenmitglieder für die [mm] n\ge [/mm] 4 zwischen [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] und [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Das sind [mm] \bruch{1}{4},\bruch{1}{5}\dots
[/mm]
ja und eine divergente folge ist eine folge, wo es kein grenzwert gibt, wie du gesagt hast :)
ich hoff das hilft dir weiter
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