Grenzwerte und Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Sa 13.09.2008 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 1. Berechne den Grenzwert für x [mm] \mapsto \infty [/mm] von
[mm] x\mapsto \frac{4x+3}{5x-6}
[/mm]
und gib an, von welchem x>2 an sich die Funktionswerte um weniger als [mm] 10^{-4} [/mm] von dem Grenzwert unterscheiden.
2. Ermittle die Nullstellen, die Polstellen und die Unbestimmtheitsstellen von
f:x [mm] \mapsto [/mm]
[mm] a)\frac{x+3}{x^{2}-16} b)\frac{x^{2}+3x-10}{x^{2}+9x+20},c)\frac{cos x-1}{x^{2}}
[/mm]
3. Zeichne den Graphen von
f:x [mm] \mapsto \begin{cases} 4-x^{2}, & \mbox{für } x<0 \mbox{} \\ 2-x, & \mbox{für } x\ge 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Ist f stetig? Wo könnte man ändern, um Stetigkeit zu erhalten?
4. Berechne
[mm] a)\limes_{x\rightarrow\infty} \frac{3x^{5}-4x{^2}+5}{4x^{4}-6x^{5}}
[/mm]
[mm] b)\limes_{t\rightarrow -\infty}\frac{4t^{3}-5t^{2}+3}{5t^{2}-3t+1}
[/mm]
[mm] c)\limes_{h\rightarrow\infty}\frac{h^{2}+4}{3-2h^{3}+4h^{4}}
[/mm]
[mm] d)\limes_{h\uparrowarrow\infty}\frac{1}{x^{2}-25}
[/mm]
[mm] e)\limes_{x\downarrow 4}\frac{x^{2}-16}{x+5}
[/mm]
[mm] f)\limes_{x\rightarrow 10}\frac{x^{2}+2x-120}{x^{2}-15x+50}
[/mm]
[mm] g)\limes_{x\rightarrow 1}\frac{1-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x^{2}}}
[/mm]
[mm] h)\limes_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt[2]{1+x}-\sqrt[2]{1-x}}{x}
[/mm]
[mm] i)\limes_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{sin5x} [/mm]
[mm] j)\limes_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{cosx}{x-\frac{\pi}{2}}
[/mm]
5. Sei
f:x [mm] ->\begin{cases} Ax+1, & \mbox{für } x\le 2 \mbox{} \\ 3x-2, & \mbox{für } x> 2 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Für welchen Wert von A ist f stetig an der Stelle 2?
6. Es sei f:x-> 1/x.
a) Um wieviel ändert sich der Funktionswert, wenn man den x-Wert [mm] x_{0}=0.5 [/mm] um 0.001 ändert?
b) Um wieviel darf sich der x-Wert ändern, wenn der Funktionswert sich an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] =0.5 nur um 0.001 ändern soll?
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Zu 1:
der Grenzwert würde gegen [mm] \frac{4}{5} [/mm] gehen (durch x teilen etc.) ...
doch wie gebe ich an, ab welchem x>2 sich die funktionswerte um weniger als [mm] 10^{-4} [/mm] von dem Grenzwert unterscheiden - mit einer [mm] \epsilon [/mm] Umgebung?
Also |f(x)-g|>2 setzen? dann wie eine gleichung behandeln...
Zu 2:
oben und unten = 0 setzen; wenn beide null werden dann polstelle
Zu 3: wie kann ich sagen ob etwas stetig ist, bzw. das aus einer funktion herauslesen ohne sie zeichnen zu müssen (da meine zeichenfähigkeiten leider doch arg zu wünschen übrig lassen) ?
Zu 4:
Umformen:
bei a) zbsp. durch [mm] x^{5} [/mm] teilen
bei d) (x+h (h= die angegebene limette hier 5) einsetzen
kennt man/ihr noch andere solche "verfahren" um an den grenzwert zu kommen?
Zu 5:
einfach 2 bei x einsetzen und gleichsetzen? (also 2A+1=6-2) ?
allerdings weiss ich nicht was ich unter stetigkeit verstehen soll daher...
Zu 6:
a)x wert 0.5 um 0.001 ändern gegen oben oder unten spielt keine rolle; deshalb
einfach x=(0.5-0.001) einsetzen und die differenz als lösung hinschreiben
b)leider keinen plan...
Ich werde die Lösungen auf jeden Fall Morgen am Morgen nochmals etwas "ergänzen" und vervollständigen.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Puh, das ist ja echt viel 
Zu 1: Der Grenzwert stimmt, die Ungleichung jedoch nicht. Die Funktionswerte sollen sich unterscheiden. Was links bei dir steht, ist genau die gewollte Differenz |Funktionswert-Grenzwert|, rechts steht aber ein x-Wert, das kann nicht sein.
Hier muss [mm] $\left|\frac{4x+3}{5x-6}-\frac{4}{5}\right|<10^{-4}$ [/mm] sein, das dann wie eine Gleichung behandeln und den Wert für x, der größer als 2 ist, suchen.
Zu 2: ich bin nicht sicher, ob du das Richtige meinst. Zähler = 0 --> Nullstelle, Nenner = 0 --> (evtl. hebbare) Definitionslücke, kann Polstelle sein. Beides = 0 --> Unbestimmtheitsstelle (hier bin ich nicht sicher, ich kenne den Ausdruck nicht)?
Zu 3: Du hast weiter unten geschrieben, du weißt nicht, was du unter Stetigkeit verstehen sollst. Das würde ich schnell bei wikipedia nachschlagen an deiner Stelle, das ist einer der wichtigsten Begriffe überhaupt
Eine Funktion [mm] $f:\mathds{R}\to\mathds{R}$ [/mm] heißt an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] stetig, wenn [mm] $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ [/mm] ist (grob gesagt).
In diesem Fall ist die Funktion sowohl für $x<0$ als auch für $x>0$ stetig (Polynome sind stetig). Bei solchen Beispielen mit Fallunterscheidung sind es (meist) die Punkte, an denen die Funktion "wechselt", wo man sie auf Stetigkeit untersuchen muss.
Stetige Funktionen haben (wieder grob gesagt) keine "Sprünge". Was passiert aber, wenn du bei dieser Funktion x von links gegen 0 gehen lässt, und was von rechts? (Heißt: einmal oben und einmal unten 0 einsetzen und vergleichen). Wie könntest du das beheben?
Zu 4: Hier wäre es interessant, mal deine Lösungen morgen anzuschauen  Was du zu Teil d) geschrieben hast, verstehe ich leider nicht.
Zu 5: Jap!
Zu 6: Es spielt sehr wohl eine Rolle, ob du 0.501 oder 0.499 betrachtest! Rechne mal die Funktionswerte und dann die Differenz zu $f(0.5)$ aus.
b) Ich würde das "nur" als "maximal" deuten. Tipp: Drücke die Änderung des x-Werts durch ein $h$ aus, also betrachte [mm] $f(x_0+h)$ [/mm] und stelle dann eine Ungleichung auf.
Viele Grüße
Johannes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 14.09.2008 | | Autor: | kushkush |
Hi Johannes,
1: [mm] x_{\epsilon} [/mm] =16701.2
3:
man könnte 2-x in 4-x umwandeln oder [mm] 4-x^2 [/mm] in [mm] 2-x^2 [/mm]
4:
a) [mm] \frac{3}{-6}
[/mm]
[mm] b)-\infty
[/mm]
c)0
d) [mm] -\infty [/mm]
e)0
f)4.4
[mm] g)\frac{1-\frac{1}{x+1}}{1-\frac{1}{(x+1)^{2}}}=??
[/mm]
h)??
i)3/5 leider fehlt mir aber der beweis a la cos(x)<sin(3x)/sin(5x)>cos(x+1) oder so
j) [mm] \frac{cos(x+\frac{\pi}{2}}{(x+\frac{pi}{2})-\frac{\pi}{2}}... [/mm]
allerdings stimmt dann das ergebnis definitiv nicht
6
a)also 0.000392 bzw. 0.004008
b) um 0.0002499 oder 0.0002501
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 So 14.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo kuskhush!
Hier wurde Dir leider eine falsche Ungleichung genannt. Du musst hier das $x_$ bestimmen für:
[mm] $$\left|\bruch{4x+3}{5x-6}-\bruch{4}{5}\right| [/mm] \ < \ [mm] \red{10^{-4}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 So 14.09.2008 | | Autor: | kushkush |
Hi lodar,
habe ich doch gemacht...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 So 14.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo kushkush!
Dann musst Du Dich irgendwo verrechnet haben. Ich erhalte nämlich:
$$x \ [mm] \ge [/mm] \ 15602$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 So 14.09.2008 | | Autor: | kushkush |
hier mein rechenweg:
[mm] \frac{4x+3}{5x-6}<0.8001
[/mm]
4x+3<0.8001(5x-6)
4x+3<4.0005x-4.8006
-0.0005x<-7.8006
[mm] \frac{7.8006}{0.0005}=15601.2 [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 So 14.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo kushkush!
Et voilà ... damit hast Du exakt mein Ergebnis erhalten.
(Nur dass ich auf die nächste natürliche Zahl aufgerundet habe).
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 So 14.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo kushkush!
> 3: man könnte 2-x in 4-x umwandeln oder [mm]4-x^2[/mm] in [mm]2-x^2[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das wären zwei Möglichkeiten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 So 14.09.2008 | | Autor: | kushkush |
Hi Loddar,
d) 0
g) 0.5
[mm] h)\frac{(\sqrt[2]{1+x}-\sqrt[2]{1-x})(\sqrt[2]{1+x}+\sqrt[2]{1-x})}{x(\sqrt[2]{1+x}+\sqrt[2]{1-x}}= [/mm] 1
i)
mit de l'hospital kann ich also im falle von [mm] \frac{0}{0} [/mm] oder [mm] \frac{\infty}{\infty} [/mm] mit hilfe einer ableitung die grenzwerte bestimmen...
die ableitung von sin(x) ist cos(x) , doch was wäre die ableitung von zbsp. sin(3x) ? 3cos(x)?
und würde das bei j) nicht heissen dass
f'(x)= [mm] \frac{-sin(x)}{1-\frac{\pi}{2}} [/mm] wäre?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 So 14.09.2008 | | Autor: | kushkush |
Hi loddar,
h) nein ich war nur zu faul um das ausmultiplizieren und das x- wegkürzen hinzuschreiben... sorry!
ein konstanter summand fällt also weg ?
allerdings verstehe ich das mit der kettenregel nicht so ganz;
ich leite in der klammer ab, dann ausserhalb... und das was in der klammer bleibt bleibt dann auch in der klammer aber wird mit dem ausserhalbigen und dem was ich vorher innerhalb abgeleitet habe multipliziert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 So 14.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo kushkush!
> 6
> a)also 0.000392 bzw. 0.004008
Beim 1. Wert ist eine Null zuviel.
> b) um 0.0002499 oder 0.0002501
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Es entsteht doch ein Bruch der Art [mm] $\bruch{1}{\infty}$ [/mm] . Also ... ?
Grenzwertsätze nach de l'Hospital![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Was hast Du hier gerechnet?
