Grenzwerte zweier Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Mo 03.11.2014 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Gegeben seien die konvergenten Folgen [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit folgenden Eigenschaften
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}3a_{n}+b_{n} [/mm] = 9
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}4a_{n}-b_{n} [/mm] = 8
Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] |
Ich denke man kann immer die [mm] b_{n} [/mm] im Limes immer 0 setzen d.h [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n} [/mm] = 0 und dann bei der ersten Folge [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = 3 damit 3*3=9 und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = 2 damit 4*2=8.
Sehe ich das richtig ?
Könnte mir jemand die Aufgabe erklären, falls ich falsch liege ?
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Hallo,
> Gegeben seien die konvergenten Folgen [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] und
> [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit folgenden Eigenschaften
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}3a_{n}+b_{n}[/mm] = 9
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}4a_{n}-b_{n}[/mm] = 8
>
> Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> und [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> Ich denke man kann immer die [mm]b_{n}[/mm] im Limes immer 0 setzen
> d.h [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}[/mm] = 0 und dann bei der
> ersten Folge [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] = 3 damit
> 3*3=9 und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] = 2 damit 4*2=8.
>
> Sehe ich das richtig ?
Nein absolut falsch - überlege doch mal : einmal konvgeriert dann [mm] a_{n} [/mm] gegen 3 und einmal gegen 2 ... das kann nur falsch sein - da wirst du mir zustimmen oder?
> Könnte mir jemand die Aufgabe erklären, falls ich falsch
> liege ?
Überlege dazu folgendes : Die Summe zweier Folgen konvergiert gegen die Summe der Grenzwerte (falls diese existieren) - die Differenz zweier Folgen konvergiert gegen die Differenz der Grenzwerte (falls diese existieren)
Gruß
Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Mo 03.11.2014 | | Autor: | rsprsp |
Wie siehts damit aus, dass man hier einfach eine Gleichung aufstellt?
3a+b=9
4a-b=8
Man bekommt für [mm] a=\bruch{17}{7} [/mm] und für [mm] b=\bruch{12}{7}
[/mm]
Wäre das richtig ?
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> Wie siehts damit aus, dass man hier einfach eine Gleichung
> aufstellt?
>
> 3a+b=9
> 4a-b=8
>
> Man bekommt für [mm]a=\bruch{17}{7}[/mm] und für [mm]b=\bruch{12}{7}[/mm]
>
> Wäre das richtig ?
Wenn du meine Antwort und die von Marcel kombinierst.... ja - allerdings müsstest du das schon etwas genauer begründen - a,b bezeichnen hier jeweils die Grenzwerte der Folgen [mm] a_{n}, b_{n} [/mm] (diese sind natürlich reelle Zahlen).
Gruß Thomas
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> > Wie siehts damit aus, dass man hier einfach eine Gleichung
> > aufstellt?
> >
> > 3a+b=9
> > 4a-b=8
> >
> > Man bekommt für [mm]a=\bruch{17}{7}[/mm] und für [mm]b=\bruch{12}{7}[/mm]
> >
> > Wäre das richtig ?
>
> Wenn du meine Antwort und die von Marcel kombinierst.... ja
> - allerdings müsstest du das schon etwas genauer
> begründen - a,b bezeichnen hier jeweils die Grenzwerte der
> Folgen [mm]a_{n}, b_{n}[/mm] (diese sind natürlich reelle Zahlen).
>
>
> Gruß Thomas
Hallo Thomas,
ich möchte hier gerade nochmals auf meinen Hinweis betr.
KlammersetzungEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
verweisen.
Zudem denke ich, dass man in der Aufgabe tatsächlich
noch untersuchen müsste, ob aus der Existenz der Grenzwerte
$ \limes_{n\rightarrow\infty}\left(\,3a_{n}+b_{n} \right{)} \ =\ 9 $
$ \limes_{n\rightarrow\infty}\left(\,4a_{n}-b_{n} \right{)} \ =\ 8 $
wirklich auf die Existenz der Grenzwerte
$ \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}$
$ \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}$
geschlossen werden darf. Da gäbe es meiner Ansicht nach
noch etwas zu beweisen (und ohne das näher betrachtet
zu haben, zweifle ich sogar ein klein wenig an der Gewissheit,
dass es wirklich klappt ...)
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > > Wie siehts damit aus, dass man hier einfach eine Gleichung
> > > aufstellt?
> > >
> > > 3a+b=9
> > > 4a-b=8
> > >
> > > Man bekommt für [mm]a=\bruch{17}{7}[/mm] und für [mm]b=\bruch{12}{7}[/mm]
> > >
> > > Wäre das richtig ?
> >
> > Wenn du meine Antwort und die von Marcel kombinierst.... ja
> > - allerdings müsstest du das schon etwas genauer
> > begründen - a,b bezeichnen hier jeweils die Grenzwerte der
> > Folgen [mm]a_{n}, b_{n}[/mm] (diese sind natürlich reelle Zahlen).
> >
> >
> > Gruß Thomas
>
>
> Hallo Thomas,
>
> ich möchte hier gerade nochmals auf meinen
> Hinweis betr.
> Klammersetzung
> verweisen.
>
> Zudem denke ich, dass man in der Aufgabe tatsächlich
> noch untersuchen müsste, ob aus der Existenz der
> Grenzwerte
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\,3a_{n}+b_{n} \right{)} \ =\ 9[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\,4a_{n}-b_{n} \right{)} \ =\ 8[/mm]
>
> wirklich auf die Existenz der Grenzwerte
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}[/mm]
>
> geschlossen werden darf. Da gäbe es meiner Ansicht nach
> noch etwas zu beweisen (und ohne das näher betrachtet
> zu haben, zweifle ich sogar ein klein wenig an der
> Gewissheit,
> dass es wirklich klappt ...)
so könnte man das nicht - es wird aber in der Aufgabe mit vorausgesetzt:
> Gegeben seien die konvergenten Folgen [mm] $(a_{n})_{n\in\IN} [/mm] $ und
> [mm] $(b_{n})_{n\in\IN} [/mm] $ mit folgenden Eigenschaften
Das war das erste, was ich nochmal nachlesen musste, denn beim *Drübergucken*
geht das echt schnell unter!
Gruß,
Marcel
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> so könnte man das nicht - es wird aber in der Aufgabe mit
> vorausgesetzt:
> > Gegeben seien die konvergenten Folgen [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> und
> > [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit folgenden Eigenschaften
>
> Das war das erste, was ich nochmal nachlesen musste, denn
> beim *Drübergucken* geht das echt schnell unter!
Aha, OK , hatte ich wirklich übersehen.
Danke Marcel für den Hinweis !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
> > > Wie siehts damit aus, dass man hier einfach eine Gleichung
> > > aufstellt?
> > >
> > > 3a+b=9
> > > 4a-b=8
> > >
> > > Man bekommt für [mm]a=\bruch{17}{7}[/mm] und für [mm]b=\bruch{12}{7}[/mm]
> > >
> > > Wäre das richtig ?
> >
> > Wenn du meine Antwort und die von Marcel kombinierst.... ja
> > - allerdings müsstest du das schon etwas genauer
> > begründen - a,b bezeichnen hier jeweils die Grenzwerte der
> > Folgen [mm]a_{n}, b_{n}[/mm] (diese sind natürlich reelle Zahlen).
> >
> >
> > Gruß Thomas
>
>
> Hallo Thomas,
>
> ich möchte hier gerade nochmals auf meinen
> Hinweis betr.
> Klammersetzung
> verweisen.
>
> Zudem denke ich, dass man in der Aufgabe tatsächlich
> noch untersuchen müsste, ob aus der Existenz der
> Grenzwerte
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\,3a_{n}+b_{n} \right{)} \ =\ 9[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\,4a_{n}-b_{n} \right{)} \ =\ 8[/mm]
>
> wirklich auf die Existenz der Grenzwerte
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}[/mm]
>
> geschlossen werden darf. Da gäbe es meiner Ansicht nach
> noch etwas zu beweisen (und ohne das näher betrachtet
> zu haben, zweifle ich sogar ein klein wenig an der
> Gewissheit,
> dass es wirklich klappt ...)
>
> LG , Al-Chw.
Hallo Al,
Ja ich gebe dir recht - wenn man exakt ist, dann müsste man hier Klammern setzen.
Zu deinem anderen Kritikpunkt:
Seien [mm] a_{n},b_{n} [/mm] konvergente Folgen
Behauptung: Es gilt [mm] \limes_{n \to \infty}(a_{n}+b_{n}) [/mm] = a+b.
Beweis:
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0 gegeben. Wähle N so, dass [mm] $|a_{n}-a| [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2}$ [/mm] und $ [mm] |b_{n}-b| [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2}$ \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N.
Dann gilt:
[mm] $|(a_{n}+b_{n})-(a+b)| [/mm] = [mm] |(a_{n}-a)+(b_{n}-b)| \le |a_{n}-a|+|b_{n}-b| [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2} [/mm] + [mm] \frac{\epsilon}{2} [/mm] = [mm] \epsilon.
[/mm]
Also ist [mm] (a_{n}+b_{n})_{n \in \mathbb{N}} [/mm] konvergent mit Grenzwert a+b
Ich bin sicher, dass hast du bereits 100mal gesehen, aber für rsprsp eventuell hilfreich.
Übrigens: Die Konvergenz der Folgen steht bereits in der Angabe.
Beste Grüße
Thomas
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > > Wie siehts damit aus, dass man hier einfach eine Gleichung
> > > > aufstellt?
> > > >
> > > > 3a+b=9
> > > > 4a-b=8
> > > >
> > > > Man bekommt für [mm]a=\bruch{17}{7}[/mm] und für [mm]b=\bruch{12}{7}[/mm]
> > > >
> > > > Wäre das richtig ?
> > >
> > > Wenn du meine Antwort und die von Marcel kombinierst.... ja
> > > - allerdings müsstest du das schon etwas genauer
> > > begründen - a,b bezeichnen hier jeweils die Grenzwerte der
> > > Folgen [mm]a_{n}, b_{n}[/mm] (diese sind natürlich reelle Zahlen).
> > >
> > >
> > > Gruß Thomas
> >
> >
> > Hallo Thomas,
> >
> > ich möchte hier gerade nochmals auf meinen
> > Hinweis betr.
> > Klammersetzung
> > verweisen.
> >
> > Zudem denke ich, dass man in der Aufgabe tatsächlich
> > noch untersuchen müsste, ob aus der Existenz der
> > Grenzwerte
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\,3a_{n}+b_{n} \right{)} \ =\ 9[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\,4a_{n}-b_{n} \right{)} \ =\ 8[/mm]
>
> >
> > wirklich auf die Existenz der Grenzwerte
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm]
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}[/mm]
> >
> > geschlossen werden darf. Da gäbe es meiner Ansicht nach
> > noch etwas zu beweisen (und ohne das näher betrachtet
> > zu haben, zweifle ich sogar ein klein wenig an der
> > Gewissheit,
> > dass es wirklich klappt ...)
> >
> > LG , Al-Chw.
> Hallo Al,
>
> Ja ich gebe dir recht - wenn man exakt ist, dann müsste
> man hier Klammern setzen.
>
> Zu deinem anderen Kritikpunkt:
>
> Seien [mm]a_{n},b_{n}[/mm] konvergente Folgen
wenn wir schon so korrekt sind, dann sollte man hier auch [mm] $(a_n)_{n=1}^\infty$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n=1}^\infty,$
[/mm]
mindestens aber [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)$, [/mm] schreiben. 
> Behauptung: Es gilt [mm]\limes_{n \to \infty}(a_{n}+b_{n})[/mm] =
> a+b.
> Beweis:
> Sei [mm]\epsilon[/mm] > 0 gegeben. Wähle N so, dass [mm]|a_{n}-a| < \frac{\epsilon}{2}[/mm]
> und [mm]|b_{n}-b| < \frac{\epsilon}{2}[/mm] [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N.
> Dann gilt:
> [mm]$|(a_{n}+b_{n})-(a+b)|[/mm] = [mm]|(a_{n}-a)+(b_{n}-b)| \le |a_{n}-a|+|b_{n}-b|[/mm]
> < [mm]\frac{\epsilon}{2}[/mm] + [mm]\frac{\epsilon}{2}[/mm] = [mm]\epsilon.[/mm]
> Also ist [mm](a_{n}+b_{n})_{n \in \mathbb{N}}[/mm] konvergent mit
> Grenzwert a+b
>
> Ich bin sicher, dass hast du bereits 100mal gesehen, aber
> für rsprsp eventuell hilfreich.
Ich glaube, darauf wollte Al gar nicht hinaus.
> Übrigens: Die Konvergenz der Folgen steht bereits in der
> Angabe.
Das wurde einfach übersehen.
(Interessant wäre es dennoch mal, ein Gegenbeispiel zu basteln, wenn man
auf die Voraussetzung der Konvergenz von [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)$ [/mm] verzichtet.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
> Hallo,
>
> > > > > Wie siehts damit aus, dass man hier einfach eine Gleichung
> > > > > aufstellt?
> > > > >
> > > > > 3a+b=9
> > > > > 4a-b=8
> > > > >
> > > > > Man bekommt für [mm]a=\bruch{17}{7}[/mm] und für [mm]b=\bruch{12}{7}[/mm]
> > > > >
> > > > > Wäre das richtig ?
> > > >
> > > > Wenn du meine Antwort und die von Marcel kombinierst.... ja
> > > > - allerdings müsstest du das schon etwas genauer
> > > > begründen - a,b bezeichnen hier jeweils die Grenzwerte der
> > > > Folgen [mm]a_{n}, b_{n}[/mm] (diese sind natürlich reelle Zahlen).
> > > >
> > > >
> > > > Gruß Thomas
> > >
> > >
> > > Hallo Thomas,
> > >
> > > ich möchte hier gerade nochmals auf meinen
> > > Hinweis betr.
> > > Klammersetzung
> > > verweisen.
> > >
> > > Zudem denke ich, dass man in der Aufgabe tatsächlich
> > > noch untersuchen müsste, ob aus der Existenz der
> > > Grenzwerte
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\,3a_{n}+b_{n} \right{)} \ =\ 9[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\,4a_{n}-b_{n} \right{)} \ =\ 8[/mm]
>
> >
> > >
> > > wirklich auf die Existenz der Grenzwerte
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm]
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}[/mm]
> > >
> > > geschlossen werden darf. Da gäbe es meiner Ansicht nach
> > > noch etwas zu beweisen (und ohne das näher
> betrachtet
> > > zu haben, zweifle ich sogar ein klein wenig an der
> > > Gewissheit,
> > > dass es wirklich klappt ...)
> > >
> > > LG , Al-Chw.
> > Hallo Al,
> >
> > Ja ich gebe dir recht - wenn man exakt ist, dann müsste
> > man hier Klammern setzen.
> >
> > Zu deinem anderen Kritikpunkt:
> >
> > Seien [mm]a_{n},b_{n}[/mm] konvergente Folgen
>
> wenn wir schon so korrekt sind, dann sollte man hier auch
> [mm](a_n)_{n=1}^\infty[/mm] und [mm](b_n)_{n=1}^\infty,[/mm]
> mindestens aber [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm], schreiben.
>
> > Behauptung: Es gilt [mm]\limes_{n \to \infty}(a_{n}+b_{n})[/mm] =
> > a+b.
> > Beweis:
> > Sei [mm]\epsilon[/mm] > 0 gegeben. Wähle N so, dass [mm]|a_{n}-a| < \frac{\epsilon}{2}[/mm]
> > und [mm]|b_{n}-b| < \frac{\epsilon}{2}[/mm] [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N.
> > Dann gilt:
> > [mm]$|(a_{n}+b_{n})-(a+b)|[/mm] = [mm]|(a_{n}-a)+(b_{n}-b)| \le |a_{n}-a|+|b_{n}-b|[/mm]
> > < [mm]\frac{\epsilon}{2}[/mm] + [mm]\frac{\epsilon}{2}[/mm] = [mm]\epsilon.[/mm]
> > Also ist [mm](a_{n}+b_{n})_{n \in \mathbb{N}}[/mm] konvergent
> mit
> > Grenzwert a+b
> >
> > Ich bin sicher, dass hast du bereits 100mal gesehen, aber
> > für rsprsp eventuell hilfreich.
>
> Ich glaube, darauf wollte Al gar nicht hinaus.
aja richtig - auch ich habe in seiner Nachricht überlesen was er eigentlich sagen wollte ^^
>
> > Übrigens: Die Konvergenz der Folgen steht bereits in der
> > Angabe.
>
> Das wurde einfach übersehen.
Richtig, hat er eh bereits gesagt, dass er das überlesen hat.
> (Interessant wäre es dennoch mal, ein Gegenbeispiel zu
> basteln, wenn man
> auf die Voraussetzung der Konvergenz von [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm]
> verzichtet.)
hmmmm
>
> Gruß,
> Marcel
Gruß,
Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > > > Wie siehts damit aus, dass man hier einfach eine Gleichung
> > > > > > aufstellt?
> > > > > >
> > > > > > 3a+b=9
> > > > > > 4a-b=8
> > > > > >
> > > > > > Man bekommt für [mm]a=\bruch{17}{7}[/mm] und für [mm]b=\bruch{12}{7}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Wäre das richtig ?
> > > > >
> > > > > Wenn du meine Antwort und die von Marcel kombinierst.... ja
> > > > > - allerdings müsstest du das schon etwas genauer
> > > > > begründen - a,b bezeichnen hier jeweils die Grenzwerte der
> > > > > Folgen [mm]a_{n}, b_{n}[/mm] (diese sind natürlich reelle Zahlen).
> > > > >
> > > > >
> > > > > Gruß Thomas
> > > >
> > > >
> > > > Hallo Thomas,
> > > >
> > > > ich möchte hier gerade nochmals auf meinen
> > > > Hinweis betr.
> > > > Klammersetzung
> > > > verweisen.
> > > >
> > > > Zudem denke ich, dass man in der Aufgabe tatsächlich
> > > > noch untersuchen müsste, ob aus der Existenz der
> > > > Grenzwerte
> > > >
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\,3a_{n}+b_{n} \right{)} \ =\ 9[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\,4a_{n}-b_{n} \right{)} \ =\ 8[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > wirklich auf die Existenz der Grenzwerte
> > > >
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm]
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}[/mm]
> > > >
> > > > geschlossen werden darf. Da gäbe es meiner Ansicht nach
> > > > noch etwas zu beweisen (und ohne das näher
> > betrachtet
> > > > zu haben, zweifle ich sogar ein klein wenig an
> der
> > > > Gewissheit,
> > > > dass es wirklich klappt ...)
> > > >
> > > > LG , Al-Chw.
> > > Hallo Al,
> > >
> > > Ja ich gebe dir recht - wenn man exakt ist, dann müsste
> > > man hier Klammern setzen.
> > >
> > > Zu deinem anderen Kritikpunkt:
> > >
> > > Seien [mm]a_{n},b_{n}[/mm] konvergente Folgen
> >
> > wenn wir schon so korrekt sind, dann sollte man hier auch
> > [mm](a_n)_{n=1}^\infty[/mm] und [mm](b_n)_{n=1}^\infty,[/mm]
> > mindestens aber [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm], schreiben.
> >
> > > Behauptung: Es gilt [mm]\limes_{n \to \infty}(a_{n}+b_{n})[/mm] =
> > > a+b.
> > > Beweis:
> > > Sei [mm]\epsilon[/mm] > 0 gegeben. Wähle N so, dass
> [mm]|a_{n}-a| < \frac{\epsilon}{2}[/mm]
> > > und [mm]|b_{n}-b| < \frac{\epsilon}{2}[/mm] [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N.
> > > Dann gilt:
> > > [mm]$|(a_{n}+b_{n})-(a+b)|[/mm] = [mm]|(a_{n}-a)+(b_{n}-b)| \le |a_{n}-a|+|b_{n}-b|[/mm]
> > > < [mm]\frac{\epsilon}{2}[/mm] + [mm]\frac{\epsilon}{2}[/mm] = [mm]\epsilon.[/mm]
> > > Also ist [mm](a_{n}+b_{n})_{n \in \mathbb{N}}[/mm] konvergent
> > mit
> > > Grenzwert a+b
> > >
> > > Ich bin sicher, dass hast du bereits 100mal gesehen, aber
> > > für rsprsp eventuell hilfreich.
> >
> > Ich glaube, darauf wollte Al gar nicht hinaus.
> aja richtig - auch ich habe in seiner Nachricht überlesen
> was er eigentlich sagen wollte ^^
> >
> > > Übrigens: Die Konvergenz der Folgen steht bereits in der
> > > Angabe.
> >
> > Das wurde einfach übersehen.
> Richtig, hat er eh bereits gesagt, dass er das überlesen
> hat.
> > (Interessant wäre es dennoch mal, ein Gegenbeispiel zu
> > basteln, wenn man
> > auf die Voraussetzung der Konvergenz von [mm](a_n)[/mm] und
> [mm](b_n)[/mm]
> > verzichtet.)
> hmmmm
ein Gegenbeispiel kann man eigentlich vergessen, denn mit Deiner
Vorgehensweise erkennt man schon
[mm] $a_n \to 17/7\,.$
[/mm]
Siehe
hier (klick!).
(Analog, oder mit diesem Ergebnis, kann man dann die Konvergenz von [mm] $b_n$
[/mm]
zeigen.)
Auf die Voraussetzung der Kgz. der Folgen [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)$ [/mm] kann man also
verzichten. (Das geht aber NICHT, wenn man so vorgeht, wie ich es zuerst
vorgeschlagen habe!)
Gruß,
Marcel
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> Interessant wäre es dennoch mal, ein Gegenbeispiel zu
> basteln, wenn man auf die Voraussetzung der Konvergenz
> von [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] verzichtet.
Fände ich auch interessant.
Ich habe aber gemerkt, dass sich das vorliegende Beispiel
mit seiner einfachen Struktur (lineare Transformation)
sich als Gegenbeispiel nicht eignet.
LG , Al
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> Übrigens: Die Konvergenz der Folgen steht bereits in der Angabe.
Naja, eben das hatte ich leider übersehen. Allerdings habe
ich jetzt gesehen, dass man die Konvergenz der Folgen
[mm] [/mm] und [mm] [/mm] auch leicht zeigen könnte, wenn
zunächst nur die Konvergenz der Folgen [mm] <3a_n+b_n> [/mm] und [mm] <4a_n-b_n>
[/mm]
bekannt ist.
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Übrigens: Die Konvergenz der Folgen steht bereits in der
> Angabe.
>
> Naja, eben das hatte ich leider übersehen. Allerdings
> habe
> ich jetzt gesehen, dass man die Konvergenz der Folgen
> [mm][/mm] und [mm][/mm] auch leicht zeigen könnte, wenn
> zunächst nur die Konvergenz der Folgen [mm]<3a_n+b_n>[/mm] und
> [mm]<4a_n-b_n>[/mm]
> bekannt ist.
ja, richtig. Denn dann gilt auch damit
[mm] $7a_n=(3a_n+b_n)+(4a_n-b_n) \to 9+8=17\,.$
[/mm]
Ist mir auch gerade wieder wie Schuppen von den Augen gefallen. 
Gruß,
Marcel
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> Ist mir auch gerade wieder wie Schuppen von den Augen
> gefallen.
Schuppen von den Augen ? Möchtest du da nicht den
Arzt konsultieren ?
In diesem Sinne:
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mo 03.11.2014 | | Autor: | rsprsp |
Kann ich das als Gleichungssystem lösen oder müsste ich das noch genauer Begründen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kann ich das als Gleichungssystem lösen oder müsste ich
> das noch genauer Begründen ?
Du musst begründen, wie Du auf das Gleichungssystem kommst. Das geht
mit Rechenregeln für konvergente Folgen (und [mm] $(a_n)_n$ [/mm] sowie [mm] $(b_n)_n$ [/mm] werden
hier als konvergent vorausgesetzt).
Zudem ist bei Dir [mm] $a=\lim_{n \to \infty} a_n$ [/mm] (ich hatte anstatt [mm] $a\,$ [/mm] halt [mm] $a_\infty$ [/mm] vorgeschlagen,
was durchaus auch einen didaktischen Grund hat - denn eigentlich nennt
man die Abbildung
$a [mm] \colon \IN \to \IR$ [/mm] mit [mm] $a(n)=a_n$
[/mm]
schon [mm] $a\,.$ [/mm] Hier besteht aber keine Verwechslungsgefahr, daher ist Deine Bezeichnung,
so, wie sie sonst auch üblich ist, durchaus okay.)
Analoges für [mm] $b\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Gegeben seien die konvergenten Folgen [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] und
> [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit folgenden Eigenschaften
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}3a_{n}+b_{n}[/mm] = 9
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}4a_{n}-b_{n}[/mm] = 8
>
> Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> und [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm]
setze mal
[mm] $a_\infty:=\lim_{n \to \infty} a_n$
[/mm]
und
[mm] $b_\infty:=\lim_{n \to \infty} b_n\,.$
[/mm]
Dann benutze den Hinweis von Thomas, und Du bekommst ein
Gleichungssystem in den zwei (reellen) Variablen [mm] $a_\infty$ [/mm] und [mm] $b_\infty\,.$
[/mm]
Nebenbei: Man kann auch (scheinbar) anders vorgehen:
[mm] $17=9+8=(\limes_{n\rightarrow\infty}(3a_{n}+b_{n}))+\limes_{n\rightarrow\infty}(4a_{n}-b_{n})=\lim_{n \to \infty}(...)=...$
[/mm]
Hierbei benutzt man die Konvergenz der Folgen
[mm] $(c_n)_n:\equiv(3a_n+b_n)_n$
[/mm]
sowie
[mm] $(d_n)_n:\equiv(4a_n-b_n)_n\,.$
[/mm]
Zur ersten Methode noch eine Ergänzung:
Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] reelle Folge mit [mm] $x_n \to x_\infty \in \IR\,,$ [/mm] so gilt auch für jedes $c [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] $c*x_n \to c*x_\infty\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
> Hi,
>
> > Gegeben seien die konvergenten Folgen [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] und
> > [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit folgenden Eigenschaften
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}3a_{n}+b_{n}[/mm] = 9
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}4a_{n}-b_{n}[/mm] = 8
> >
> > Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> > und [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm]
>
> setze mal
>
> [mm]a_\infty:=\lim_{n \to \infty} a_n[/mm]
>
> und
>
> [mm]b_\infty:=\lim_{n \to \infty} b_n\,.[/mm]
>
> Dann benutze den Hinweis von Themas, und Du bekommst ein
> Gleichungssystem in den zwei (reellen) Variablen [mm]a_\infty[/mm]
> und [mm]b_\infty\,.[/mm]
Hallo Marcel,
welche Tastatur hast du denn, dass e und o nebeneinander liegen? :)
Lg Thomas
>
> Nebenbei: Man kann auch (scheinbar) anders vorgehen:
>
> [mm]17=9+8=(\limes_{n\rightarrow\infty}(3a_{n}+b_{n}))+\limes_{n\rightarrow\infty}(4a_{n}-b_{n})=\lim_{n \to \infty}(...)=...[/mm]
>
> Hierbei benutzt man die Konvergenz der Folgen
>
> [mm](c_n)_n:\equiv(3a_n+b_n)_n[/mm]
>
> sowie
>
> [mm](d_n)_n:\equiv(4a_n-b_n)_n\,.[/mm]
>
> Zur ersten Methode noch eine Ergänzung:
> Ist [mm](x_n)_n[/mm] reelle Folge mit [mm]x_n \to x_\infty \in \IR\,,[/mm]
> so gilt auch für jedes [mm]c \in \IR[/mm]
>
> [mm]c*x_n \to c*x_\infty\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hello Themas,
> > Hi,
> >
> > > Gegeben seien die konvergenten Folgen [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] und
> > > [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit folgenden Eigenschaften
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}3a_{n}+b_{n}[/mm] = 9
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}4a_{n}-b_{n}[/mm] = 8
> > >
> > > Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> > > und [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> >
> > setze mal
> >
> > [mm]a_\infty:=\lim_{n \to \infty} a_n[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]b_\infty:=\lim_{n \to \infty} b_n\,.[/mm]
> >
> > Dann benutze den Hinweis von Themas, und Du bekommst ein
> > Gleichungssystem in den zwei (reellen) Variablen [mm]a_\infty[/mm]
> > und [mm]b_\infty\,.[/mm]
> Hallo Marcel,
>
> welche Tastatur hast du denn, dass e und o nebeneinander
> liegen? :)
ech Monsch, man kann dech mal 6 Taston danobon groifon.
Gruß,
Marcol
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
> Hello Themas,
>
> > > Hi,
> > >
> > > > Gegeben seien die konvergenten Folgen [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] und
> > > > [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit folgenden Eigenschaften
> > > >
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}3a_{n}+b_{n}[/mm] = 9
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}4a_{n}-b_{n}[/mm] = 8
> > > >
> > > > Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> > > > und [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> > >
> > > setze mal
> > >
> > > [mm]a_\infty:=\lim_{n \to \infty} a_n[/mm]
> > >
> > > und
> > >
> > > [mm]b_\infty:=\lim_{n \to \infty} b_n\,.[/mm]
> > >
> > > Dann benutze den Hinweis von Themas, und Du bekommst ein
> > > Gleichungssystem in den zwei (reellen) Variablen [mm]a_\infty[/mm]
> > > und [mm]b_\infty\,.[/mm]
> > Hallo Marcel,
> >
> > welche Tastatur hast du denn, dass e und o nebeneinander
> > liegen? :)
>
> ech Monsch, man kann dech mal 6 Taston danobon groifon.
Haha - das ist wirklich gut :D
>
> Gruß,
> Marcol
LG Tho(e)mas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
> > Hello Themas,
> >
> > > > Hi,
> > > >
> > > > > Gegeben seien die konvergenten Folgen [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] und
> > > > > [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit folgenden Eigenschaften
> > > > >
> > > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}3a_{n}+b_{n}[/mm] = 9
> > > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}4a_{n}-b_{n}[/mm] = 8
> > > > >
> > > > > Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> > > > > und [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> > > >
> > > > setze mal
> > > >
> > > > [mm]a_\infty:=\lim_{n \to \infty} a_n[/mm]
> > > >
> > > > und
> > > >
> > > > [mm]b_\infty:=\lim_{n \to \infty} b_n\,.[/mm]
> > > >
> > > > Dann benutze den Hinweis von Themas, und Du bekommst ein
> > > > Gleichungssystem in den zwei (reellen) Variablen [mm]a_\infty[/mm]
> > > > und [mm]b_\infty\,.[/mm]
> > > Hallo Marcel,
> > >
> > > welche Tastatur hast du denn, dass e und o nebeneinander
> > > liegen? :)
> >
> > ech Monsch, man kann dech mal 6 Taston danobon groifon.
> Haha - das ist wirklich gut :D
> >
> > Gruß,
> > Marcol
>
> LG Tho(e)mas
oigontlich haotto ich "Halle Themas" schroibon muosson.
So, jetzt aber genug: Laßt mich meine Texte kodieren, wie ich das will. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruß,
fliplr(lecraM)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Lustique |
> Hallo Marcel,
>
> welche Tastatur hast du denn, dass e und o nebeneinander
> liegen? :)
>
> Lg Thomas
Mein Tipp wäre neo2, da liegen o (e-Taste) und e (f-Taste) nebeneinander und werden beide vom linken Zeigefinger angesteuert. :)
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> Gegeben seien die konvergenten Folgen [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] und
> [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit folgenden Eigenschaften
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}3a_{n}+b_{n}[/mm] = 9
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}4a_{n}-b_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 8
Guten Abend !
Ich vermute, dass gemeint war:
$\limes_{n\rightarrow\infty}\red{\left(}\,3a_{n}+b_{n} \red{ \right{)} }\ =\ 9$
$\limes_{n\rightarrow\infty}\red{\left(}\,4a_{n}-b_{n} \red{ \right{)} }\ =\ 8$
Die Klammern, die ich da zusätzlich gesetzt habe, sind notwendig !
Sollte der Dozent sie "vergessen" haben, bitte ich sehr, ihn
höflich darauf hinzuweisen !
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Gegeben seien die konvergenten Folgen [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] und
> > [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit folgenden Eigenschaften
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}3a_{n}+b_{n}[/mm] = 9
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}4a_{n}-b_{n}[/mm] = 8
>
>
> Guten Abend !
>
> Ich vermute, dass gemeint war:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\red{\left(}\,3a_{n}+b_{n} \red{ \right{)} }\ =\ 9[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\red{\left(}\,4a_{n}-b_{n} \red{ \right{)} }\ =\ 8[/mm]
>
> Die Klammern, die ich da zusätzlich gesetzt habe, sind
> notwendig !
>
> Sollte der Dozent sie "vergessen" haben, bitte ich sehr,
> ihn
> höflich darauf hinzuweisen !
sollte man, aber irgendwie hat es sich *eingebürgert*, dass sie vergessen
werden (dürfen).
Ist so ähnlich wie etwa bei
[mm] $\int_a^b (x^2+3x+7)dx\,.$
[/mm]
Auch bei
[mm] $\int_a^b x^2+3x+7 dx\,,$
[/mm]
was für Dich sicher ein Gräuel ist, weiß man aber, was gemeint ist. Ich kannte
letztstehende Notation sogar als *gängig*, bis hier im MR mal eine Diskussion
entstanden war, warum man sie nicht benutzen sollte.
Schlimmer wird's, wenn man
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}+1$
[/mm]
schreibt, aber
[mm] $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n}+1\right)$
[/mm]
meint ^^
edit: Ne, da hatte ich eben etwas anderes im Kopf. Jetzt muss ich mal
gerade nachdenken, was ich eigentlich schreiben wollte...
Achja:
[mm] $\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k}+1\right)$
[/mm]
meinen, aber
[mm] $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}+1$
[/mm]
schreiben. ^^
Bei
[mm] $\lim_{n \to \infty} a_n+b_n$
[/mm]
sehe ich da weniger die Gefahr, dass jemand [mm] "$b_n$ [/mm] als freistehend" betrachten würde.
Nichtsdestotrotz sind gerade saubere Notationen zu Studienbeginn absolut
wichtig, um solche Verwirrungen von vorneherein auszuschließen. Daher
finde ich den Hinweis von Dir dann doch wieder sehr gut...
Gruß,
Marcel
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![[]](http://wiki.neo-layout.org/attachment/wiki/Neo-Tastaturen/phil_druckvorlage.jpg){kind=small}
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