Grenzwertermittlung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Di 27.06.2006 | | Autor: | x3n4 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die folgenden Grenzwerte für k [mm] \in \IN.
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{(1+1*k)^5 - (1-2*k)^5}{(1+3*k)^5 + (1-4*k)^5} [/mm] |
Hallo liebe Leute,
mein Problem seht ihr in Form der Aufgabe. Ich habe keine Ahnung wie ich die Aufgabe angehen soll. Es wäre nett, wenn mir jemand einen (ausführlichen ) Rechenweg mit Lösung zeigen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo x3n4,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Eine Variante wäre natürlich, alle Klammern auszumultiplizieren und anschließend zusammenzufassen.
Eleganter geht es allerdings, wenn man zunächst überall den Term [mm] $k^5$ [/mm] ausklammert und kürzt:
[mm]\bruch{(1+1*k)^5 - (1-2*k)^5}{(1+3*k)^5 + (1-4*k)^5} \ = \ \bruch{\left[k*\left(\bruch{1}{k}+1\right)\right]^5 - \left[k*\left(\bruch{1}{k}-2\right)\right]^5}{\left[k*\left(\bruch{1}{k}+3\right)\right]^5 + \left[k*\left(\bruch{1}{k}-4\right)\right]^5} \ = \ \bruch{k^5*\left(\bruch{1}{k}+1\right)^5 - k^5*\left(\bruch{1}{k}-2\right)^5}{k^5*\left(\bruch{1}{k}+3\right)^5 + k^5*\left(\bruch{1}{k}-4\right)^5} \ = \ \bruch{k^5*\left[\left(\bruch{1}{k}+1\right)^5 - \left(\bruch{1}{k}-2\right)^5\right]}{k^5*\left[\left(\bruch{1}{k}+3\right)^5 +\left(\bruch{1}{k}-4\right)^5\right]} \ = \ \bruch{\left(\bruch{1}{k}+1\right)^5 - \left(\bruch{1}{k}-2\right)^5}{\left(\bruch{1}{k}+3\right)^5 +\left(\bruch{1}{k}-4\right)^5} [/mm]
Und nun die Grenzwertbetrachtung für [mm] $k\rightarrow\infty$ [/mm] ...
Was passiert dann mit den ganzen Ausdrücken [mm] $\bruch{1}{k}$ [/mm] ?
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Di 27.06.2006 | | Autor: | x3n4 |
Danke für die schnelle Unterstützung!
ich vermute jetzt mal, dass 1/k gegen 0 geht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Di 27.06.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo x3n4!
> ich vermute jetzt mal, dass 1/k gegen 0 geht.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau ... und nun den Gesamtgrenzwert berechnen, indem Du für jeden Bruch [mm] $\bruch{1}{k}$ [/mm] den Wert $0_$ einsetzt.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Di 27.06.2006 | | Autor: | x3n4 |
Heißt das also, dass ich auf biegen und brechen die Terme so umformen muss, dass immer 1/variable da steht?
Und was passiert wenn [mm] \limes_{n\rightarrow0} [/mm] 1/n ?
|
|
|
| |
|
Hi, x3n4,
> Heißt das also, dass ich auf biegen und brechen die Terme
> so umformen muss, dass immer 1/variable da steht?
Diese Umformung macht nur bei "Variable [mm] \to \infty" [/mm] Sinn!
> Und was passiert wenn [mm]\limes_{n\rightarrow0}[/mm] 1/n ?
Nun:
1. kann bei Folgen (!) n nicht gegen 0 gehen.
2. käme bei Deiner Rechnung [mm] \infty [/mm] raus, und
3. verwendet man bei "Variable gegen festen Wert" z.B. die h-Methode, nicht aber die "1/Variable"-Methode.
Klar soweit?
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
