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| Aufgabe | [mm] (G,\circ) [/mm] sei eine nicht kommutative Gruppe. Zeigen sie: Es gilt NICHT für alle a,b [mm] \in [/mm] G:
[mm] (a\circ b)^{2} [/mm] = [mm] a^{2} \circ b^{2} [/mm] |
Wie ist das zu zeigen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> [mm](G,\circ)[/mm] sei eine nicht kommutative Gruppe. Zeigen sie: Es
> gilt NICHT für alle a,b [mm]\in[/mm] G:
>
> [mm](a\circ b)^{2}[/mm] = [mm]a^{2} \circ b^{2}[/mm]
> Wie ist das zu zeigen?
Multipliziere doch mal auf beiden Seiten [mm] $a^{-1}$ [/mm] von links und [mm] $b^{-1}$ [/mm] von rechts...
Gruß, banachella
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Mo 18.09.2006 | | Autor: | verachris3 |
Ich bin relativ neu in der Materie wie funktioniert das konkret?
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Ich bin relativ neu in der Materie wie funktioniert das konkret?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Mo 18.09.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Zu zeigen ist hier für eine nicht kommutative Gruppe [mm] $(G,\circ)$, $a,b\in [/mm] G$
[mm] $(a\circ b)^{2}\not=a^{2}\circ b^{2}$
[/mm]
Schreiben wir diese Gleichung um zu
[mm] $(a\circ b)\circ (a\circ b)\not=(a\circ a)\circ (b\circ [/mm] b)$
Aus der Assoziativität der Gruppenverknüpfung folgt
[mm] $a\circ b\circ a\circ b\not=a\circ a\circ b\circ [/mm] b$
Besagtes verknüpfen auf beiden Seiten mit [mm] a^{-1} [/mm] von links und [mm] b^{-1} [/mm] von rechts liefert
[mm] $a^{-1}\circ a\circ b\circ a\circ b\circ b^{-1}\not=a^{-1}\circ a\circ a\circ b\circ b\circ b^{-1}$
[/mm]
Aus dem Existenz des Inversen innerhalb einer Gruppe wissen wir
[mm] $\underbrace{a^{-1}\circ a}_{=e}\circ b\circ a\circ \underbrace{b\circ b^{-1}}_{=e}\not=\underbrace{a^{-1}\circ a}_{=e}\circ a\circ b\circ \underbrace{b\circ b^{-1}}_{=e}$
[/mm]
Da wir eine Verknüpfung mit dem neutralen Element e auch "weglassen können", folgt
[mm] $b\circ a\not= a\circ [/mm] b$,
was ja in einer nicht kommutativen Gruppe i.A. richtig ist. (q.e.d.)
Bitte beachten: Die Schreibweise "zum Quadrat" bedeutet nicht das übliche Quadrieren wie z.B. in [mm] \IR. [/mm] Es ist eben nur eine Schreibweise.
Bsp.: Sei $(G,+)$, [mm] $a,b\in [/mm] G$ eine Gruppe.
Dann ist [mm] (a+b)^{2}=(a+b)+(a+b) [/mm] und nicht wie vielleicht im ersten Moment gedacht [mm] a^{2}+b^{2}+2*a*b. [/mm] Das wird daraus deutlich, da in einer Gruppe ja nur eine Verknüpfung (in diesem Falle "+") definiert ist und somit die Distributivgesetze gar nicht existieren können!
Hoffe ich konnte helfen!
Lg, Kübi
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Mo 18.09.2006 | | Autor: | verachris3 |
Vielen vielen Dank für die Mühe! Jetzt hab ich das System endlich kapiert das mit dem hoch 2 hat mich nämlich tatsächlich verwirrt!
Super von dir erklärt -> solltest Lehrer/Professor werden!!
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