Gruppe der Ordng. 96 auflösbar < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Jede Gruppe der Ordnung 96 ist auflösbar. |
Hallo zusammen,
solche Aufgaben wie oben hab ich schon einige gamacht, aber iwie helfen dabei die "üblichen" Mittel nicht weiter.
Sei $G$ Gruppe mit [mm] $|G|=96=2^5*3$. [/mm] Sei [mm] $P\in Syl_3(G)$. [/mm]
Dann gilt einerseits [mm] $|Syl_3(G)| [/mm] | |G|$, also [mm] $|Syl_3(G)| \in \{ 1,2,4,8,16,32 \}$ [/mm] und andereseits [mm] $|Syl_3(G)|\equiv [/mm] 1 (mod 3) $, also [mm] $|Syl_3(G)|\in\{ 1, 4, 16 \}$. [/mm] Für [mm] $|G:N_G(P)|=|Syl_3(G)|=1$ [/mm] ist [mm] $G=N_G(P)$ [/mm] und sowohl P "normal in" G (ich hab das Zeichen nicht gefunden) als auch G/P auflösbar, somit auch G auflösbar.
Probleme hab ich bei dem 2. und 3.Fall [mm] $|Syl_3(G)| \in \{ 4,16 \}
[/mm]
Beim Elementezählen, also zu sagen, dass sich jede 3-Sylowgruppe nur trivial schneidet und damit ich die Anzahl der Elemente angeben kann reicht denke ich nich, weil ich da auf zu wenige komme.
Ich hab auch schon die 2-Sylowgruppen betrachtet, aber da komme ich auf ähnliche Probleme, nur eben auf einen Fall weniger, also [mm] $|Syl_2(G)|=3$. [/mm] Elementezählen hat da auch nicht geholfen, weil 32*2=64 noch genug Platz für mehrere 3-Sylowgruppen lässt, oder hab ich das Prinzip noch nich verstanden?
Überseh ich da das Offensichtliche? Wie mache ich das denn?
Danke!
lg Kai
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Mo 15.02.2010 | | Autor: | PeterB |
Es gibt noch einen weiteren Trick, der oft weiter hilft: Wenn eine einfache Gruppe $G$ auf einer endlichen Menge mit $n$ Elementen operiert, dann ist die zugehörige Abbildung [mm] $G\rightarrow S_n$ [/mm] entweder injektiv oder die Nullabbildung. (Warum?)
Kannst Du das hier anwenden? Auf welchen Mengen operiert $G$?
|
|
|
| |
|
Ich kann deinem Tipp noch nicht so recht folgen. Wir hatten mal eine Abildung von G in [mm] S_n, [/mm] $g [mm] \mapsto \nu_g$, [/mm] mit [mm] $\nu_g: [/mm] G/H [mm] \to [/mm] G/H, xH [mm] \mapsto [/mm] gxH$.
Dann würde G auf der Menge seiner Nebenklassen bzgl. H [mm] \le [/mm] G operieren.
Ist es das, was du meinst? Ich sehe noch nicht so recht was mir das bringt?
Gibt es denn noch weitere Standarttricks die man kennen sollte?
Danke!
lg Kai
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Mo 15.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Kai!
> Ich kann deinem Tipp noch nicht so recht folgen. Wir hatten
> mal eine Abildung von G in [mm]S_n,[/mm] [mm]g \mapsto \nu_g[/mm], mit
> [mm]\nu_g: G/H \to G/H, xH \mapsto gxH[/mm].
>
> Dann würde G auf der Menge seiner Nebenklassen bzgl. H [mm]\le[/mm]
> G operieren.
>
> Ist es das, was du meinst? Ich sehe noch nicht so recht was
> mir das bringt?
Es gibt noch eine andere interessante Operation: per Konjugation operiert $G$ auf der Menge der 2-Sylow-Untergruppen. Und davon gibt es 1 oder 3, womit es einen Gruppenhomomorphismus $G [mm] \to S_1$ [/mm] oder $G [mm] \to S_3$ [/mm] gibt.
Wenn es drei 2-Sylow-UGen gibt, gibt es also einen Homomorphismus $G [mm] \to S_3$. [/mm] Da [mm] $S_3$ [/mm] weniger Elemente als $G$ hat, kann er nicht injektiv sein, womit er nach Peters Aussage trivial sein muss. Aber was bedeutet es, wenn er trivial ist? (Schau dir mal die Sylow-Saetze an...)
LG Felix
|
|
|
| |
|
Also iwie finde ich in dem Satz von Sylow keine Aussage über Abbildungen. Meinst du mit trivialer Abbildung die Nullabbildung? Ich weiß nicht warum nur injektive und triviale Abbildungen in Frage kommen...
Warum reicht es denn überhaupt nur einfache Gruppen zu betrachten (d.h. doch nur 1 und G als Normalteiler, oder?) ? Geht das weil dann der Normalteiler N mit 1 < N < G und G/N auflösbar wären, weil man weiß das alle Gruppen der Ordung kleiner 96 bis auf die 60 auslösbar sind?
Die Konjugation mit einem Element $g [mm] \in [/mm] G$ ist doch $x [mm] \mapsto g*x*g^{-1}$. [/mm]
Wäre diese Abbildung injektiv wäre der Kern nur die Eins. Ist sie trivial ist ganz G im Kern, sehe ich das richtig? Dann ist G/Ker [mm] \cong [/mm] Bild.
Soll ich an den Konjukationsklassen iwas ablesen können?
Was bringt mir das denn jetz?
Danke!
lg Kai
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Mo 15.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also iwie finde ich in dem Satz von Sylow keine Aussage
> über Abbildungen. Meinst du mit trivialer Abbildung die
> Nullabbildung? Ich weiß nicht warum nur injektive und
> triviale Abbildungen in Frage kommen...
Weil irgendwer gedacht hat, die Gruppe wäre einfach. Isse aber net.
Hilft dir meine Mitteilung weiter?
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Mo 15.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Wenn es drei 2-Sylow-UGen gibt, gibt es also einen
> Homomorphismus [mm]G \to S_3[/mm]. Da [mm]S_3[/mm] weniger Elemente als [mm]G[/mm]
> hat, kann er nicht injektiv sein, womit er nach Peters
> Aussage trivial sein muss. Aber was bedeutet es, wenn er
> trivial ist? (Schau dir mal die Sylow-Saetze an...)
Also die Grupope muss nicht einfach sein, das hat Peter einfach reingebastelt. Von Einfachheit der Gruppe steht im OP nichts. Aber die Abbildung ist trotzdem Gold wert: wenn man 3 2-Sylowgruppen hat ist die Abbildung nicht-trivial, und enthält mindestens 2 nicht-triviale Elemente. Also hat das Bild Ordnung 6 oder 3. Damit ist der Kern ein Normalteiler, aber wenn man diesen aus G hinausteilt, bleibt eine p-Gruppe zu 2 übrig. Jetrzt muss man nur noch den Fall angehn, wobei G modulo dem Kern der Abbildung Ordnung 6 hat.
SEcki
|
|
|
| |
|
Also iwie bin ich noch nicht so wirklich dahinter gestiegen.
Ich möchte zeigen, dass eine Gruppe mit 96 Elementen auflösbar ist, also so eine Folge von Normalteilern ex. mit gewissen Eigenschaften...
Ich nutze den Satz von Sylow um mir solche Normalteiler zu basteln. Wegen der relativ kleinen Ordnung reicht dann auch meistens einer schon.
Also erstma gibt es ja schon am Anfang 2 Mlg. entweder wähle ich [mm] $P\in Syl_3(G)| [/mm] oder [mm] $Q\in Syl_2(G)$ [/mm] Man hat mir gesagt ich solle die größere Primzahl nehmen. Erfahrungsgemäß sei das besser. Hier wird aber offensichtlich die kleiner Primzahl (=2) genommen. Ich sehe ein, dass ich mir dadurch einen Fall spare, da ich so nur noch [mm] $|Syl_2(G)|\in \{ 1, 3 \}$ [/mm] untersuchen muss.
Der Fall [mm] $|Syl_2(G)| [/mm] = 1$ ist klar.
Jetzt soll ich, um den zweiten Fall abzudecken die Kunjugationsabbildung betrachten. $ x [mm] \mapsto g\cdot{}x\cdot{}g^{-1} [/mm] $ Diese permutiert die Elemente in [mm] $Syl_2(G)$. [/mm]
Bis hierhin komme ich mit.
Ab jetzt hätte ich gerne Hilfe wie und warum ich gerade so weitermache.
Danke!
lg Kai
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Mo 15.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Bis hierhin komme ich mit.
> Ab jetzt hätte ich gerne Hilfe wie und warum ich gerade so
> weitermache.
Kerne von Homomorphismen sind Normalteiler. Und zur Auflösbarkeit sucht man ja Normalteiler. Geeignete Hom.en geben geeignete KErne.
SEcki
|
|
|
| |
|
Aber der Kern der Konjugationsabbildung ist doch das Zentrum oder? Was hilft mir denn das Zantrum, darüber weiß ich doch gar nix... Das einzige was mir einfällt, ist dass das Zentrum die Vereinigung aller einelementigen Konjugationsklassen ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mo 15.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Aber der Kern der Konjugationsabbildung ist doch das
> Zentrum oder?
Und es ist nicht die Konj.abb. gemeint.
> Was hilft mir denn das Zantrum, darüber
> weiß ich doch gar nix... Das einzige was mir einfällt,
> ist dass das Zentrum die Vereinigung aller einelementigen
> Konjugationsklassen ist.
Die Abbildung ist [m]G\to Bij(Syg_2(G)), g\mapsto (H \mapsto g*H*g^{-1})[/m]. Wobei Bij die Bijektionen auf der Menge der 2-Sylowgruppen ist.
SEcki
|
|
|
| |
|
Ich kenne diese Abbildung noch nich. Ich verstehe noch nicht so ganz was mit die bringt. Für $ g [mm] \in [/mm] G $ ist doch [mm] $G=g*G*g^{-1}$. [/mm] Dann wäre ja der Kern ganz G.
|
|
|
| |
|
Ich schreibe morgen eine Klausur in Algebra, das ist keine Übungsaufgabe oder so, sondern eine die ich mir selber gestellt habe. Ich kenne die Philosophie hier selber zur Lösung zu kommen, aber ich wäre in diesem Fall sehr dankbar für eine Lösung, da die Klausur morgen bei weitem nicht nur Sylowgruppen betrifft.
Danke!
lg Kai
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Mo 15.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich schreibe morgen eine Klausur in Algebra, das ist keine
> Übungsaufgabe oder so, sondern eine die ich mir selber
> gestellt habe. Ich kenne die Philosophie hier selber zur
> Lösung zu kommen, aber ich wäre in diesem Fall sehr
> dankbar für eine Lösung, da die Klausur morgen bei weitem
> nicht nur Sylowgruppen betrifft.
Die Lösung steht eigentlich schon länger da ... und gar nicht mal so unausführlich. Ich hab's nochmal zusammengefasst. Vielleicht hilft es ja.
Viel Glück für die Klausur.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mo 15.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich kenne diese Abbildung noch nich. Ich verstehe noch
> nicht so ganz was mit die bringt. Für [mm]g \in G[/mm] ist doch
> [mm]G=g*G*g^{-1}[/mm]. Dann wäre ja der Kern ganz G.
Bin mit den Buchstaben durcheinander gekommen, hab das korrigiert. Du sollst halt die eine Sylowgruppe auf die andere mittels Konjugation abbilden.
Die Abbildung geht in nach Bij, die aber nach Annahme genau [m]S_3[/m] ist. (Ansonsten gäbes es nur eine und hätten einen Normalteiler). Seien, H,I,J die drei 2-Sylowgruppen, dann gibt es j mit [m]j*H*j^{-1}=J[/m] und i mit [m]i*H*i^{-1}=I[/m]. Also besteht das Bild aus mindestens drei Elementen. Jetzt ist der Index des Kernes genau die Größe des Bildes. Damit ist der KErn eine 2-Gruppe, da ja die 3 im Index vorkommt. Nun ist G/Kern entweder 3 oder 6 und damit auflösbar, die 2-Gruppe sowieso. Und damit hat man dann eine Auflösung der Gruppe G.
SEcki
|
|
|
| |
|
Vielen Dank erstmal!
> > Ich kenne diese Abbildung noch nich. Ich verstehe noch
> > nicht so ganz was mit die bringt. Für [mm]g \in G[/mm] ist doch
> > [mm]G=g*G*g^{-1}[/mm]. Dann wäre ja der Kern ganz G.
>
> Bin mit den Buchstaben durcheinander gekommen, hab das
> korrigiert. Du sollst halt die eine Sylowgruppe auf die
> andere mittels Konjugation abbilden.
Das kann ich mir iwie nicht richtig vorstellen.
Ich nehm mir eine 2-Sylowgruppe P und betrachte dann [mm] $p*P*p^{-1}$ [/mm] mit $p [mm] \in [/mm] P$ oder wie (das verstehe ich unter Konjugation). Und warum ist letzteres dann eine 3-Sylowgruppe????
Danke!
lg Kai
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Mo 15.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Das kann ich mir iwie nicht richtig vorstellen.
Das ist im übrigien eine Aussage der Sylowsätze!
> Ich nehm mir eine 2-Sylowgruppe P und betrachte dann
> [mm]p*P*p^{-1}[/mm] mit [mm]p \in P[/mm] oder wie (das verstehe ich unter
> Konjugation).
Nein, wie ich schon geschrieben habe(!), mit beliebigen [m]g\in G[/m].
> Und warum ist letzteres dann eine
> 3-Sylowgruppe????
Ist es nicht, es ist eine 2-Slowgruppe. Wie komsmt du denn darauf?! Schau dir nochmal die Sylowsätze an ...
SEcki
|
|
|
| |
|
Ahhhh okay, ja sry da stand ich auf der Leitung.
Weil je zwei 2-Sylowgruppen konjugiert sind, ist |G/ker|=3 und damit dann ker eine 2er potenz also auflösbar.
Vielen Dank!
lg Kai
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Mo 15.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Weil je zwei 2-Sylowgruppen konjugiert sind, ist |G/ker|=3
> und damit dann ker eine 2er potenz also auflösbar.
Oder |G/ker|=6
SEcki
|
|
|
| |
|
Warum kann der auch 6 sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Mo 15.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Warum kann der auch 6 sein?
Warum nicht? Kann doch surjektiv sein? ich sehe a priori keinen Hinterungsgrund.
SEcki
|
|
|
|
